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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
Dans le calcul conduisant à l’égalité (20), on est parti d’un produit dépendant de trois données (l
1 , l
2 , l), (h
1 , h( ˜
ζ 1 )) et (h
2 , h( ˜
ζ 2 )). On a inséré une quatrième donnée (m
1 , m
2 ), puis on a décomposé le produit obtenu en deux produits, l’un relatif aux données (l
1 , l
2 , l) et (m
1 , m
2 ), l’autre aux données (m
1 , m
2 ),
(h
1 , h( ˜
ζ 1 )) et (h
2 , h( ˜
ζ 2 )). Le même procédé permet d’insérer dans B v de nouvelles
données, disons (h
1 , h( ˜
ζ 1 )) puis de décomposer le produit obtenu en deux produits, l’un relatif aux données (m
1 , m
2 ), (h
1 , h( ˜
ζ 1 )) et (h
2 , h( ˜
ζ 2 )), l’autre relatif
aux données (h
1 , h( ˜
ζ 1 )) et (h
1 , h( ˜
ζ 1 )). On reconnaît ces produits comme étant B v
et Δ 1,imp,v (h
1 , h( ˜
ζ 1 ); h
1 , h( ˜
ζ 1 )). On laisse les détails au lecteur. Cela prouve (22).
Fixons une place v ∈ V . La situation étant non ramifiée, M
v est relevant.
On peut fixer un élément y ∈ ˜
M v (F v ) assez régulier et y
∈ M
(F v ) de sorte que
leurs classes de conjugaison stable se correspondent. On fixe des relèvements y
1
et y
2 de y
dans ˜
G
1 ( ˜
ζ 1 ), resp. ˜
G
2 ( ˜
ζ 2 ). On construit B v comme ci-dessus, relatif
aux couples (h
i , h( ˜
ζ i )) = (y
i , y) pour i = 1, 2. La situation étant non ramifiée, on
dispose de facteurs de transfert canoniques et la relation précédant (22) devient
(23)
B v = B v Δ 1,imp,v (y
1 , y)Δ 2,imp,v (y
2 , y)
−1
Δ 1,imp,v (h
1 , h( ˜
ζ 1 ))
−1 Δ 2,imp,v (h
2 , h( ˜
ζ 2 )).
On va calculer B v . Par rapport à la situation antérieure, les tores T ( ˜
ζ 1 ) et T ( ˜
ζ 2 )
se confondent en un unique tore T
H
y . Les cocycles V 1 et V 2 sont égaux à un unique
cocycle V y . Les éléments ν 1 et ν 2 ne sont pas égaux, mais sont de la forme (μ y,1 , ν y ),
(μ y,2 , ν y ), où les μ y,i appartiennent aux sous-tores T
H
y,i de H
i ( ˜
ζ i ) associés à T
H
y .
En fait, on peut simplifier puisqu’on a choisi y ∈ ˜
M v (F v ) et non pas seulement
y ∈ ˜
M
H
v (F v ). On note T y = G ∩ T
H
y et T
y,i = T
H
y,i ∩ G
i ( ˜
ζ i ) pour i = 1, 2.
On introduit le tore T y produit fibré de T
y,1 , T
y,2 et T y au-dessus du tore T
y
de M
(qui est un Levi commun de G
( ˜
ζ 1 ) et G
( ˜
ζ 2 )). On note ν y,12 l’élément
(μ y,1 , μ y,2 , ν y ) de T y . On note Σ y le quotient de T
M
× T y par Z 12 plongé par
(z 1 , z 2 , z) → ((z 1 , z 2 ), (z 1 , z 2 , z)). Le couple (V y , (μ
M
, ν y,12 )) définit un élément de
H
1,0 (Γ Fv ; T y,sc
1−θ
→ Σ y ). On a un homomorphisme évident
T y,sc
1−θ
→ Σ y
↓
U
1−θ
→ Σ .
Par l’homomorphisme fonctoriellement associé, le cocycle précédent s’envoie sur celui intervenant dans la définition de B v . Pour utiliser la compatibilité des produits,
on doit calculer l’image de (((X
M
ML )
−1 , ˆ
V 1 , ˆ
V 2 , ˆ
V 12,sc ), (ζ sc , z
−1
sc ζ
−1
sc )) par l’homomorphisme dual
H
1,0 (W Fv ; ˆ
Σ
1− ˆ
θ
→ ˆ
U ) → H
1,0 (W Fv ; ˆ
Σ y
1− ˆ
θ
→ ˆ
T y,ad ).
Le premier terme X
M
ML se conserve tel quel. On peut remplacer ˆ
V i par son image
dans l’analogue de ˆ
T ( ˜
ζ i ) où le groupe ˆ
G remplace ˆ
H. Une fois fait ce remplacement,
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
Dans le calcul conduisant à l’égalité (20), on est parti d’un produit dépendant de trois données (l
1 , l
2 , l), (h
1 , h( ˜
ζ 1 )) et (h
2 , h( ˜
ζ 2 )). On a inséré une quatrième donnée (m
1 , m
2 ), puis on a décomposé le produit obtenu en deux produits, l’un relatif aux données (l
1 , l
2 , l) et (m
1 , m
2 ), l’autre aux données (m
1 , m
2 ),
(h
1 , h( ˜
ζ 1 )) et (h
2 , h( ˜
ζ 2 )). Le même procédé permet d’insérer dans B v de nouvelles
données, disons (h
1 , h( ˜
ζ 1 )) puis de décomposer le produit obtenu en deux produits, l’un relatif aux données (m
1 , m
2 ), (h
1 , h( ˜
ζ 1 )) et (h
2 , h( ˜
ζ 2 )), l’autre relatif
aux données (h
1 , h( ˜
ζ 1 )) et (h
1 , h( ˜
ζ 1 )). On reconnaît ces produits comme étant B v
et Δ 1,imp,v (h
1 , h( ˜
ζ 1 ); h
1 , h( ˜
ζ 1 )). On laisse les détails au lecteur. Cela prouve (22).
Fixons une place v ∈ V . La situation étant non ramifiée, M
v est relevant.
On peut fixer un élément y ∈ ˜
M v (F v ) assez régulier et y
∈ M
(F v ) de sorte que
leurs classes de conjugaison stable se correspondent. On fixe des relèvements y
1
et y
2 de y
dans ˜
G
1 ( ˜
ζ 1 ), resp. ˜
G
2 ( ˜
ζ 2 ). On construit B v comme ci-dessus, relatif
aux couples (h
i , h( ˜
ζ i )) = (y
i , y) pour i = 1, 2. La situation étant non ramifiée, on
dispose de facteurs de transfert canoniques et la relation précédant (22) devient
(23)
B v = B v Δ 1,imp,v (y
1 , y)Δ 2,imp,v (y
2 , y)
−1
Δ 1,imp,v (h
1 , h( ˜
ζ 1 ))
−1 Δ 2,imp,v (h
2 , h( ˜
ζ 2 )).
On va calculer B v . Par rapport à la situation antérieure, les tores T ( ˜
ζ 1 ) et T ( ˜
ζ 2 )
se confondent en un unique tore T
H
y . Les cocycles V 1 et V 2 sont égaux à un unique
cocycle V y . Les éléments ν 1 et ν 2 ne sont pas égaux, mais sont de la forme (μ y,1 , ν y ),
(μ y,2 , ν y ), où les μ y,i appartiennent aux sous-tores T
H
y,i de H
i ( ˜
ζ i ) associés à T
H
y .
En fait, on peut simplifier puisqu’on a choisi y ∈ ˜
M v (F v ) et non pas seulement
y ∈ ˜
M
H
v (F v ). On note T y = G ∩ T
H
y et T
y,i = T
H
y,i ∩ G
i ( ˜
ζ i ) pour i = 1, 2.
On introduit le tore T y produit fibré de T
y,1 , T
y,2 et T y au-dessus du tore T
y
de M
(qui est un Levi commun de G
( ˜
ζ 1 ) et G
( ˜
ζ 2 )). On note ν y,12 l’élément
(μ y,1 , μ y,2 , ν y ) de T y . On note Σ y le quotient de T
M
× T y par Z 12 plongé par
(z 1 , z 2 , z) → ((z 1 , z 2 ), (z 1 , z 2 , z)). Le couple (V y , (μ
M
, ν y,12 )) définit un élément de
H
1,0 (Γ Fv ; T y,sc
1−θ
→ Σ y ). On a un homomorphisme évident
T y,sc
1−θ
→ Σ y
↓
U
1−θ
→ Σ .
Par l’homomorphisme fonctoriellement associé, le cocycle précédent s’envoie sur celui intervenant dans la définition de B v . Pour utiliser la compatibilité des produits,
on doit calculer l’image de (((X
M
ML )
−1 , ˆ
V 1 , ˆ
V 2 , ˆ
V 12,sc ), (ζ sc , z
−1
sc ζ
−1
sc )) par l’homomorphisme dual
H
1,0 (W Fv ; ˆ
Σ
1− ˆ
θ
→ ˆ
U ) → H
1,0 (W Fv ; ˆ
Σ y
1− ˆ
θ
→ ˆ
T y,ad ).
Le premier terme X
M
ML se conserve tel quel. On peut remplacer ˆ
V i par son image
dans l’analogue de ˆ
T ( ˜
ζ i ) où le groupe ˆ
G remplace ˆ
H. Une fois fait ce remplacement,