VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10
737
D’après les propriétés générales de ce produit, on a
B =
v∈Val(F )
B v ,
les termes du produit étant presque tous égaux à 1. On a un homomorphisme
naturel
T sc ( ˜
ζ 1 ) × T sc ( ˜
ζ 2 )
1−θ
→ T ( ˜
ζ 1 ) × T ( ˜
ζ 2 )
↓
U
1−θ
→ Σ .
Le quadruplet ((V 1 , V 2 ), (ν 1 , ν 2 )) définit naturellement un élément de
H
1,0 (A F /F ; T sc ( ˜
ζ 1 ) × T sc ( ˜
ζ 2 )
1−θ
→ T ( ˜
ζ 1 ) × T ( ˜
ζ 2 )) .
Le cocycle ((V 1 , V 2 ), (μ
M
, ν 1 , ν 2 )) en est l’image dans H
1,0 (A F /F ; U
1−θ
→ Σ ) par
l’homomorphisme déduit par fonctorialité du précédent. En effet, parce que μ
1 et
μ
2 sont définis sur F et parce que les éléments e
1 et e
2 sont définis sur ¯
F , le terme
μ
M
appartient à T
M
12 ( ¯
F ). Il disparaît par définition des groupes de cohomologie
«globaux». Par compatibilité des produits, on obtient
B =
((V 1 , V 2 ), (ν 1 , ν 2 )), (( ˆ
V 1 , ˆ
V
−1
2 ), (ζ ad , z
−1
ad ζ
−1
ad ))
,
où il s’agit du produit sur
H
1,0 (A F /F ; T sc ( ˜
ζ 1 ) × T sc ( ˜
ζ 2 )
1−θ
→ T ( ˜
ζ 1 ) × T ( ˜
ζ 2 )) × H
1,0 (W F ; ˆ
T ( ˜
ζ 1 ) × ˆ
T ( ˜
ζ 2 )
1− ˆ
θ
→ ˆ
T ad ( ˜
ζ 1 ) × ˆ
T ad ( ˜
ζ 2 )).
Ce produit se décompose selon les composantes indexées par 1 et 2. On n’a pas de
mal à reconnaître ces composantes comme les facteurs Δ i,glob (h
i , h( ˜
ζ i )) privés de
leurs facteurs Δ II . Notons ces facteurs Δ i,imp,glob (h
i , h( ˜
ζ i )). Il y a toutefois une
inversion de signe sur le facteur d’indice 1 et on obtient
(21)
B = Δ 2,imp,glob (h
2 , h( ˜
ζ 2 ))Δ 1,imp,glob (h
1 , h( ˜
ζ 1 ))
−1 .
Pour v ∈ V , la relation (20) et le fait que le terme A v ne dépend pas des couples
(h
i , h( ˜
ζ i )) entraîne que, si l’on remplace dans les constructions ces couples par
d’autres (h
i , h( ˜
ζ i )), et si l’on note B v le terme obtenu, on a l’égalité
B v = B v Δ 1,imp,v (h
1 , h( ˜
ζ 1 ); h
1 , h( ˜
ζ 1 ))Δ 2,imp,v (h
2 , h( ˜
ζ 2 ); h
2 , h( ˜
ζ 2 ))
−1 .
On a
(22) cette propriété perdure pour tout v ∈ Val(F ).
737
D’après les propriétés générales de ce produit, on a
B =
v∈Val(F )
B v ,
les termes du produit étant presque tous égaux à 1. On a un homomorphisme
naturel
T sc ( ˜
ζ 1 ) × T sc ( ˜
ζ 2 )
1−θ
→ T ( ˜
ζ 1 ) × T ( ˜
ζ 2 )
↓
U
1−θ
→ Σ .
Le quadruplet ((V 1 , V 2 ), (ν 1 , ν 2 )) définit naturellement un élément de
H
1,0 (A F /F ; T sc ( ˜
ζ 1 ) × T sc ( ˜
ζ 2 )
1−θ
→ T ( ˜
ζ 1 ) × T ( ˜
ζ 2 )) .
Le cocycle ((V 1 , V 2 ), (μ
M
, ν 1 , ν 2 )) en est l’image dans H
1,0 (A F /F ; U
1−θ
→ Σ ) par
l’homomorphisme déduit par fonctorialité du précédent. En effet, parce que μ
1 et
μ
2 sont définis sur F et parce que les éléments e
1 et e
2 sont définis sur ¯
F , le terme
μ
M
appartient à T
M
12 ( ¯
F ). Il disparaît par définition des groupes de cohomologie
«globaux». Par compatibilité des produits, on obtient
B =
((V 1 , V 2 ), (ν 1 , ν 2 )), (( ˆ
V 1 , ˆ
V
−1
2 ), (ζ ad , z
−1
ad ζ
−1
ad ))
,
où il s’agit du produit sur
H
1,0 (A F /F ; T sc ( ˜
ζ 1 ) × T sc ( ˜
ζ 2 )
1−θ
→ T ( ˜
ζ 1 ) × T ( ˜
ζ 2 )) × H
1,0 (W F ; ˆ
T ( ˜
ζ 1 ) × ˆ
T ( ˜
ζ 2 )
1− ˆ
θ
→ ˆ
T ad ( ˜
ζ 1 ) × ˆ
T ad ( ˜
ζ 2 )).
Ce produit se décompose selon les composantes indexées par 1 et 2. On n’a pas de
mal à reconnaître ces composantes comme les facteurs Δ i,glob (h
i , h( ˜
ζ i )) privés de
leurs facteurs Δ II . Notons ces facteurs Δ i,imp,glob (h
i , h( ˜
ζ i )). Il y a toutefois une
inversion de signe sur le facteur d’indice 1 et on obtient
(21)
B = Δ 2,imp,glob (h
2 , h( ˜
ζ 2 ))Δ 1,imp,glob (h
1 , h( ˜
ζ 1 ))
−1 .
Pour v ∈ V , la relation (20) et le fait que le terme A v ne dépend pas des couples
(h
i , h( ˜
ζ i )) entraîne que, si l’on remplace dans les constructions ces couples par
d’autres (h
i , h( ˜
ζ i )), et si l’on note B v le terme obtenu, on a l’égalité
B v = B v Δ 1,imp,v (h
1 , h( ˜
ζ 1 ); h
1 , h( ˜
ζ 1 ))Δ 2,imp,v (h
2 , h( ˜
ζ 2 ); h
2 , h( ˜
ζ 2 ))
−1 .
On a
(22) cette propriété perdure pour tout v ∈ Val(F ).