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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
Par l’homomorphisme qui s’en déduit par fonctorialité, le cocycle (19) est l’image
du cocycle
((X
M
ML )
−1 , ˆ
V 1 , ˆ
V
−1
2 , ˆ
V 12,sc ), (ζ sc , z
−1
sc ζ
−1
sc )
∈ H
1,0 (W Fv ; ˆ
Σ
1− ˆ
θ
→ ˆ
U ).
On a des homomorphismes duaux aux précédents
H
1,0 (Γ Fv ; T
L
ad
1−θ
→ Σ ML )
H
1,0 (Γ Fv ; U 12
1−θ
→ Σ)
H
1,0 (Γ Fv ; U
1−θ
→ Σ ) .
Par ces homomorphismes, le cocycle
(V
L , V
−1
1 , V
−1
2 ), (ν
L
12 , (μ
M
)
−1 , ν
−1
1 , ν
−1
2 )
s’envoie respectivement sur (V L,ad , (ν
L
12 , (μ
M
)
−1 )) et l’inverse de
((V 1 , V 2 ), (μ
M
, ν 1 , ν 2 )).
La décomposition ci-dessus et la compatibilité des produits conduit à l’égalité
(20)
Δ 2,imp,v (l
2 , l
; h
2 , h( ˜
ζ 2 ))Δ 1,imp,v (l
1 , l
; h
1 , h( ˜
ζ 1 ))
−1 = A v B
−1
v ,
où
A v =
(V L,ad , (ν
L
12 , (μ
M
)
−1 )), (X ML , z
−1
sc )
,
B v =
((V 1 , V 2 ), (μ
M
, ν 1 , ν 2 )),
((X
M
ML )
−1 , ˆ
V 1 , ˆ
V
−1
2 , ˆ
V 12,sc ), (ζ sc , z
−1
sc ζ
−1
sc )
.
On va d’abord se préoccuper du terme B v . Evidemment, ce qui nous intéresse est
le produit de ces termes sur toutes les places v ∈ V . Compte tenu du choix des
éléments m
i , h
i et h( ˜
ζ i ), le terme B v peut aussi bien être défini pour une place
v ∈ V . De plus, bien que les éléments h
i et h( ˜
ζ i ) soient seulement adéliques, les
tores qui interviennent dans les définitions sont les localisés de tores définis sur
F . Les cochaînes intervenant sont aussi «adéliques». Par exemple, le terme noté
V 1 est la localisée d’une cochaîne encore notée V 1 : Γ F → T sc ( ˜
ζ 1 ). On peut donc
définir un terme
B =
((V 1 , V 2 ), (μ
M
, ν 1 , ν 2 )),
((X
M
ML )
−1 , ˆ
V 1 , ˆ
V
−1
2 , ˆ
V 12,sc ), (ζ sc , z
−1
sc ζ
−1
sc )
,
où il s’agit cette fois du produit dans
H
1,0 (A F /F ; U
1−θ
→ Σ ) × H
1,0 (W F ; ˆ
Σ
1− ˆ
θ
→ ˆ
U ).
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
Par l’homomorphisme qui s’en déduit par fonctorialité, le cocycle (19) est l’image
du cocycle
((X
M
ML )
−1 , ˆ
V 1 , ˆ
V
−1
2 , ˆ
V 12,sc ), (ζ sc , z
−1
sc ζ
−1
sc )
∈ H
1,0 (W Fv ; ˆ
Σ
1− ˆ
θ
→ ˆ
U ).
On a des homomorphismes duaux aux précédents
H
1,0 (Γ Fv ; T
L
ad
1−θ
→ Σ ML )
H
1,0 (Γ Fv ; U 12
1−θ
→ Σ)
H
1,0 (Γ Fv ; U
1−θ
→ Σ ) .
Par ces homomorphismes, le cocycle
(V
L , V
−1
1 , V
−1
2 ), (ν
L
12 , (μ
M
)
−1 , ν
−1
1 , ν
−1
2 )
s’envoie respectivement sur (V L,ad , (ν
L
12 , (μ
M
)
−1 )) et l’inverse de
((V 1 , V 2 ), (μ
M
, ν 1 , ν 2 )).
La décomposition ci-dessus et la compatibilité des produits conduit à l’égalité
(20)
Δ 2,imp,v (l
2 , l
; h
2 , h( ˜
ζ 2 ))Δ 1,imp,v (l
1 , l
; h
1 , h( ˜
ζ 1 ))
−1 = A v B
−1
v ,
où
A v =
(V L,ad , (ν
L
12 , (μ
M
)
−1 )), (X ML , z
−1
sc )
,
B v =
((V 1 , V 2 ), (μ
M
, ν 1 , ν 2 )),
((X
M
ML )
−1 , ˆ
V 1 , ˆ
V
−1
2 , ˆ
V 12,sc ), (ζ sc , z
−1
sc ζ
−1
sc )
.
On va d’abord se préoccuper du terme B v . Evidemment, ce qui nous intéresse est
le produit de ces termes sur toutes les places v ∈ V . Compte tenu du choix des
éléments m
i , h
i et h( ˜
ζ i ), le terme B v peut aussi bien être défini pour une place
v ∈ V . De plus, bien que les éléments h
i et h( ˜
ζ i ) soient seulement adéliques, les
tores qui interviennent dans les définitions sont les localisés de tores définis sur
F . Les cochaînes intervenant sont aussi «adéliques». Par exemple, le terme noté
V 1 est la localisée d’une cochaîne encore notée V 1 : Γ F → T sc ( ˜
ζ 1 ). On peut donc
définir un terme
B =
((V 1 , V 2 ), (μ
M
, ν 1 , ν 2 )),
((X
M
ML )
−1 , ˆ
V 1 , ˆ
V
−1
2 , ˆ
V 12,sc ), (ζ sc , z
−1
sc ζ
−1
sc )
,
où il s’agit cette fois du produit dans
H
1,0 (A F /F ; U
1−θ
→ Σ ) × H
1,0 (W F ; ˆ
Σ
1− ˆ
θ
→ ˆ
U ).