VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10
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où il s’agit du produit sur
H
1,0 (Γ Fv ; U 12
1−θ
→ Σ) × H
1,0 (W Fv ; ˆ
Σ
1− ˆ
θ
→ ˆ
U 12 ).
Notons Σ ML le quotient de T
L
12 × T
M
12 par Z 12 plongé par
(z 1 , z 2 , z) → ((z 1 , z 2 , z), (z 1 , z 2 )
−1 ).
Son dual ˆ
Σ ML est le groupe des (t
L , t
M
, t sc ) tels que t
L (t
M
)
−1 = j(t sc ). Pour
w ∈ W Fv , posons
X
L
ML (w) = ˆ
V
L
12 (w) ∈ ˆ
T
L
12 ,
X
M
ML (w) = (ϕ 1 (w), ϕ
2 (w)
−1 ) ∈ ˆ
T
M
12
X ML,sc (w) = (w G (ρ v,sc )w T L (ρ v,sc )
−1 ) ∈ ˆ
T sc .
Posons X ML (w) = (X
L
ML (w), X
M
ML (w), X ML,sc (w)). Ce terme appartient à ˆ
Σ ML .
On a fixé arbitrairement l’élément z sc . Mais on se rappelle que, par définition, z
appartient à Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ . L’image de ce groupe dans ˆ
G AD étant connexe, on peut
supposer et on suppose que z sc ∈ Z( ˆ
M sc )
ΓF , ˆ
θ,0 . On vérifie alors que le couple
(X ML , z
−1
sc ) est un cocycle qui définit un élément de H
1,0 (W Fv ; ˆ
Σ ML
1− ˆ
θ
→ ˆ
T
L
sc ). On
a un homomorphisme plus ou moins évident
ˆ
Σ ML
1− ˆ
θ
→ ˆ
T
L
sc
↓
ˆ
Σ
1− ˆ
θ
→ ˆ
U 12 .
Par l’homomorphisme qui s’en déduit par fonctorialité, (X ML , z
−1
sc ) s’envoie sur le
cocycle
( ˆ
V
L
12 , X
M
ML , 1, 1, X ML,sc ), (z
−1
sc , 1, 1)
.
Le cocycle (18) est le produit de celui-ci avec le cocycle
(19)
(1, (X
M
ML )
−1 , ˆ
V 1 , ˆ
V
−1
2 , ˆ
V 12,sc ), (1, ζ sc , z
−1
sc ζ
−1
sc )
,
où
ˆ
V 12,sc (w) = (t sc ( ˜
ζ 1 )(w)
−1 t sc ( ˜
ζ 2 )(w)m
sc (w)).
Il est clair que ce dernier cocycle vit dans des groupes plus petits, où l’on supprime
la première composante. C’est-à-dire, notons Σ le quotient de T
M
12 ×T ( ˜
ζ 1 )×T ( ˜
ζ 2 )
par le groupe Z 12 plongé par (z 1 , z 2 , z) → ((z 1 , z 2 ), (z 1 , z), (z 2 , z)). Notons U =
(T sc ( ˜
ζ 1 ) × T sc ( ˜
ζ 2 ))/ diag(Z(G SC )). On a un homomorphisme
ˆ
Σ
1− ˆ
θ
→ ˆ
U
↓
ˆ
Σ
1− ˆ
θ
→ ˆ
U 12 .