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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
où, pour i = 1, 2, t sc ( ˜
ζ i ) est une cochaîne ne dépendant que des objets issus de
(h
i , h( ˜
ζ i )).
Remarque. Il y a un changement de signe par rapport à la référence [II] car on
y calculait un rapport Δ 1 /Δ 2 alors que l’on calcule ici un rapport inverse. Par
ailleurs, le résultat n’est pas tout-à-fait exact. Il faudrait multiplier les formules
ci-dessus par un cobord qui disparaît immédiatement dans la suite du calcul.
On a fixé plus haut des éléments m
, m
1 , m
2 . On peut les supposer assez réguliers. Notons T
M
, T
M
1 , T
M
2
leurs commutants et notons T
M
12 le produit fibré de T
M
1
et T
M
2
au-dessus de T
M
. On écrit m
i = μ
M
i e
i pour i =
1, 2. Alors le couple μ
M
12 = (μ
M
1 , μ
M
2 ) appartient à T
M
12 . Notons Σ le quotient de T
L
12 × T
M
12 × T ( ˜
ζ 1 ) × T ( ˜
ζ 2 ) par le groupe Z 12 plongé par (z 1 , z 2 , z) →
((z 1 , z 2 , z), (z 1 , z 2 )
−1 , (z 1 , z)
−1 , (z 2 , z)
−1 ). Le quadruplet (ν
L
12 , (μ
M
12 )
−1 , ν
−1
1 , ν
−1
2 )
définit un élément de Σ. On a un homomorphisme d’oubli
U 12
1−θ
→
Σ
↓
U 12
1−θ
→ S 12 .
Il est clair que
(V
L , V
−1
1 , V
−1
2 ), (ν
L
12 , ν
−1
1 , ν
−1
2 )
est l’image de
(V
L , V
−1
1 , V
−1
2 ), (ν
L
12 , (μ
M
12 )
−1 ν
−1
1 , ν
−1
2 )
par l’homorphisme
H
1,0 (Γ Fv ; U 12
1−θ
→ Σ) → H
1,0 (Γ Fv ; U 12
1−θ
→ S 12 )
déduit par fonctorialité du précédent. Le tore dual ˆ
Σ est le groupe des
(t
L , t
M
, t 1 , t 2 , t sc ) ∈ ˆ
T
L
12 × ˆ
T
M
12 × ˆ
T ( ˜
ζ 1 ) × ˆ
T ( ˜
ζ 2 ) × ˆ
T sc
tels que t
L soit le produit des images naturelles de t
M
, t 1 , t 2 et t sc . Par l’homomorphisme dual du précédent, l’élément
( ˆ
V
L
12 , ˆ
V 1 , ˆ
V
−1
2 , ˆ
V 12,sc ), (z
−1
sc , ζ sc , z
−1
sc ζ
−1
sc )
s’envoie sur
(18)
( ˆ
V
L
12 , 1, ˆ
V 1 , ˆ
V
−1
2 , ˆ
V 12,sc ), (z
−1
sc , ζ sc , z
−1
sc ζ
−1
sc )
.
Par compatibilité des produits, on obtient
Δ 2,imp,v (l
2 , l
; h
2 , h( ˜
ζ 2 ))Δ 1,imp,v (l
1 , l
; h
1 , h( ˜
ζ 1 ))
−1
=
(V
L , V
−1
1 , V
−1
2 ), (ν
L
12 , (μ
M
)
−1 , ν
−1
1 , ν
−1
2 )
,
ˆ
V
L
12 , 1, ˆ
V 1 , ˆ
V
−1
2 , ˆ
V 12,sc ), (z
−1
sc , ζ sc , z
−1
sc ζ
−1
sc )
,
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
où, pour i = 1, 2, t sc ( ˜
ζ i ) est une cochaîne ne dépendant que des objets issus de
(h
i , h( ˜
ζ i )).
Remarque. Il y a un changement de signe par rapport à la référence [II] car on
y calculait un rapport Δ 1 /Δ 2 alors que l’on calcule ici un rapport inverse. Par
ailleurs, le résultat n’est pas tout-à-fait exact. Il faudrait multiplier les formules
ci-dessus par un cobord qui disparaît immédiatement dans la suite du calcul.
On a fixé plus haut des éléments m
, m
1 , m
2 . On peut les supposer assez réguliers. Notons T
M
, T
M
1 , T
M
2
leurs commutants et notons T
M
12 le produit fibré de T
M
1
et T
M
2
au-dessus de T
M
. On écrit m
i = μ
M
i e
i pour i =
1, 2. Alors le couple μ
M
12 = (μ
M
1 , μ
M
2 ) appartient à T
M
12 . Notons Σ le quotient de T
L
12 × T
M
12 × T ( ˜
ζ 1 ) × T ( ˜
ζ 2 ) par le groupe Z 12 plongé par (z 1 , z 2 , z) →
((z 1 , z 2 , z), (z 1 , z 2 )
−1 , (z 1 , z)
−1 , (z 2 , z)
−1 ). Le quadruplet (ν
L
12 , (μ
M
12 )
−1 , ν
−1
1 , ν
−1
2 )
définit un élément de Σ. On a un homomorphisme d’oubli
U 12
1−θ
→
Σ
↓
U 12
1−θ
→ S 12 .
Il est clair que
(V
L , V
−1
1 , V
−1
2 ), (ν
L
12 , ν
−1
1 , ν
−1
2 )
est l’image de
(V
L , V
−1
1 , V
−1
2 ), (ν
L
12 , (μ
M
12 )
−1 ν
−1
1 , ν
−1
2 )
par l’homorphisme
H
1,0 (Γ Fv ; U 12
1−θ
→ Σ) → H
1,0 (Γ Fv ; U 12
1−θ
→ S 12 )
déduit par fonctorialité du précédent. Le tore dual ˆ
Σ est le groupe des
(t
L , t
M
, t 1 , t 2 , t sc ) ∈ ˆ
T
L
12 × ˆ
T
M
12 × ˆ
T ( ˜
ζ 1 ) × ˆ
T ( ˜
ζ 2 ) × ˆ
T sc
tels que t
L soit le produit des images naturelles de t
M
, t 1 , t 2 et t sc . Par l’homomorphisme dual du précédent, l’élément
( ˆ
V
L
12 , ˆ
V 1 , ˆ
V
−1
2 , ˆ
V 12,sc ), (z
−1
sc , ζ sc , z
−1
sc ζ
−1
sc )
s’envoie sur
(18)
( ˆ
V
L
12 , 1, ˆ
V 1 , ˆ
V
−1
2 , ˆ
V 12,sc ), (z
−1
sc , ζ sc , z
−1
sc ζ
−1
sc )
.
Par compatibilité des produits, on obtient
Δ 2,imp,v (l
2 , l
; h
2 , h( ˜
ζ 2 ))Δ 1,imp,v (l
1 , l
; h
1 , h( ˜
ζ 1 ))
−1
=
(V
L , V
−1
1 , V
−1
2 ), (ν
L
12 , (μ
M
)
−1 , ν
−1
1 , ν
−1
2 )
,
ˆ
V
L
12 , 1, ˆ
V 1 , ˆ
V
−1
2 , ˆ
V 12,sc ), (z
−1
sc , ζ sc , z
−1
sc ζ
−1
sc )
,