VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10
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tore dual ˆ
U 12 est le quotient de ˆ
T
L
sc × ˆ
T sc ( ˜
ζ 1 ) × ˆ
T sc ( ˜
ζ 2 ) par le groupe des triplets
(z, z 1 , z 2 ) ∈ Z( ˆ
G SC )
3 tels que z = z 1 z 2 . L’élément
ˆ
p 1
( ˆ
V
L
1 , ˆ
V 1 , ˆ
V 1,sc ), (ζ 1,sc , ζ 1,sc )
ˆ
p 2
( ˆ
V
L
2 , ˆ
V 2 , ˆ
V 2,sc ), (ζ 2,sc , ζ 2,sc )
−1
est de la forme
( ˆ
V
L
12 , ˆ
V 1 , ˆ
V
−1
2 , ˆ
V 12,sc ), (z
−1
sc , ζ sc , z
−1
sc ζ
−1
sc )
.
On obtient
Δ 2,imp,v (l
2 , l
; h
2 , h( ˜
ζ 2 ))Δ 1,imp,v (l
1 , l
; h
1 , h( ˜
ζ 1 ))
−1
=
(V
L , V
−1
1 , V
−1
2 ), (ν
L
12 , ν
−1
1 , ν
−1
2 )
,
( ˆ
V
L
12 , ˆ
V 1 , ˆ
V
−1
2 , ˆ
V 12,sc ), (z
−1
sc , ζ sc , z
−1
sc ζ
−1
sc )
.
Le calcul de ˆ
V
L
12 et ˆ
V 12,sc est long mais on l’a fait dans la preuve de la proposition 1.14(iii) de [II] et on va décrire le résultat. On a implicitement fixé des
paires de Borel épinglées de ˆ
G
( ˜
ζ 1 ) et ˆ
G
( ˜
ζ 2 ), les paires de Borel sous-jacentes
étant évidemment les intersections de ( ˆ
B, ˆ
T ) avec chacun des groupes. Puisque
ces deux groupes ont en commun le Levi ˆ
M
, on peut supposer que ces paires
prolongent en un sens plus ou moins clair une paire de Borel épinglée de de Levi.
Pour i = 1, 2, le groupe ˆ
H( ˜
ζ i ) est en réalité déterminé par le choix d’un relèvement ˜
t i de ˜
ζ i dans ˆ
H. Notons ˆ
M
H l’image réciproque de ˆ
M dans ˆ
H. Puisque
z ∈ Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0 , on peut le relever en un élément z
H
∈ Z( ˆ
M
H )
ΓF , ˆ
θ,0 et supposer
˜
t 2 = z
H ˜
t 1 . Alors ˆ
H
( ˜
ζ 1 ) et ˆ
H
( ˜
ζ 2 ) ont en commun un Levi ˆ
M
H
qui relève ˆ
M
. Les
paires de Borel épinglées de ˆ
G
( ˜
ζ 1 ), ˆ
G
( ˜
ζ 2 ) et ˆ
M
se relèvent en de telles paires de
ˆ
H
( ˜
ζ 1 ), ˆ
H
( ˜
ζ 2 ) et ˆ
M
H
. Ces paires de Borel épinglées déterminent précisément les
actions galoisiennes sur chaque groupe. Ainsi, les actions galoisiennes sur ˆ
H
( ˜
ζ 1 )
et ˆ
H
( ˜
ζ 2 ) se restreignent en une même action sur ˆ
M
H
. Pour w ∈ W F et i = 1, 2,
on fixe des éléments (h i (w), w) ∈ H
( ˜
ζ i ) tels que ad hi(w) ◦w H = w H ( ˜
ζi) . La propriété précédente assure que h 2 (w) = m
H
(w)h 1 (w), avec m
H
(w) ∈ Z( ˆ
M
H
).
Puisque ce groupe est produit de Z( ˆ
M
H
)
0 et de Z( ˆ
H
( ˜
ζ 2 )), on peut supposer
m
H
(w) ∈ Z( ˆ
M
H
)
0 . On note g 1 (w), g 2 (w) et m
(w) les projections de h 1 (w),
h 2 (w) et m
H
(w) dans ˆ
G. Ces éléments vérifient des propriétés analogues aux
précédents. Pour i = 1, 2, on note ˆ
ξ i : G
( ˜
ζ i ) →
L G
i ( ˜
ζ i ) le plongement fixé et,
pour w ∈ W F , on pose ˆ
ξ i (g i (w), w) = (ϕ i (w), w). L’élément ϕ i (w) appartient à
Z( ˆ
G
i ( ˜
ζ i )). On pose ϕ
2 (w) = ˆ
ξ 2 (m
(w))
−1 ϕ 2 (w), autrement dit ˆ
ξ 2 (g 1 (w), w) =
(ϕ
2 (w), w). On fixe un relèvement ρ v,sc ∈ ˆ
G SC de l’image de ρ v dans ˆ
G AD et,
pour tout w ∈ W F , un relèvement m
sc (w) dans ˆ
G SC de l’image de m
(w) dans
ˆ
G AD . On suppose ainsi qu’il est loisible que m
sc (w) ∈ Z( ˆ
M
sc )
0 . Pour w ∈ W Fv ,
on a alors
ˆ
V
L
12 (w) = (ϕ 1 (w), ϕ
2 (w)
−1 , w G (ρ v )w T L (ρ v )
−1 ),
ˆ
V 12,sc (w) = (t sc ( ˜
ζ 1 )(w)
−1 t sc ( ˜
ζ 2 )(w)m
sc (w)w G (ρ v,sc )w T L (ρ v,sc )
−1 ),