732
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
on obtient l’égalité
Δ i,imp,v (l
i , l
; h
i , h( ˜
ζ i ))
=
(V
L
i , V
−1
i ), (ν
L
i , ν
−1
i )
,
( ˆ
V
L
i , ˆ
V i , ˆ
V i,sc ), (ζ i,sc , ζ i,sc )
−1
,
où il s’agit du produit sur
H
1,0 (Γ Fv ; U i
1−θ
→ S i ) × H
1,0 (W Fv ; ˆ
S i
1− ˆ
θ
→ ˆ
U i ).
Notons U 12 le produit T
L
sc × T
1
sc × T
2
sc quotienté par Z(G SC ) plongé par z →
(z, z
−1 , z
−1 ). Parce que l’on a choisi les mêmes diagrammes et les mêmes objets
auxiliaires pour construire V
L
1 et V
L
2 , ces deux cochaînes sont égales. Notons-les
simplement V
L . Alors (V
L , V
−1
1 , V
−1
2 ) est une cochaîne à valeurs dans T
L
sc × T
1
sc ×
T
2
sc , qui se descend en un cocycle à valeurs dans U 12 . Rappelons la construction des
éléments ν
L
i . On note e
i l’image de e dans Z( ˜
G
( ˜
ζ i )). On écrit l
i = μ i e
i et l = νe.
Alors ν
L
i est le couple (μ i , ν). Notons T
L
12 le produit fibré de T
L
1 , T
L
2 et T
L audessus de T
L
. On définit l’élément ν
L
12 = (μ 1 , μ 2 , ν) ∈ T
L
12 . Notons Z 12 le groupe
des triplets (z 1 , z 2 , z) ∈ Z(G
1 ( ˜
ζ 1 )) × Z(G
2 ( ˜
ζ 2 )) × Z(G) tels que, pour i = 1, 2,
z i a même image que z dans Z(G
( ˜
ζ i )). Notons S 12 le quotient de T
L
12 × T ( ˜
ζ 1 ) ×
T ( ˜
ζ 2 ) par le groupe Z 12 plongé par (z 1 , z 2 , z) → ((z 1 , z 2 , z), (z 1 , z)
−1 , (z 2 , z)
−1 ).
Le triplet (ν
L
12 , ν
−1
1 , ν
−1
2 ) définit un élément de ce quotient et on voit que la paire
(V
L , V
−1
1 , V
−1
2 ), (ν
L
12 , ν
−1
1 , ν
−1
2 )
est un cocycle appartenant à Z
1,0 (Γ Fv ; U 12
1−θ
→
S 12 ). Il y a des homomorphismes d’oubli d’une série de variables
U 12
1−θ
→ S 12
p 1
p 2
U 1
1−θ
→ S 1
U 2
1−θ
→ S 2 .
En notant encore p i : H
1,0 (Γ Fv ; U 12
1−θ
→ S 12 ) → H
1,0 (Γ Fv ; U i
1−θ
→ S i ) l’homomorphisme déduit par fonctorialité, on a p i ((V
L , V
−1
1 , V
−1
2 ), (ν
L
12 , ν
−1
1 , ν
−1
2 )) =
((V
L
i , V
−1
i ), (ν
L
i , ν
−1
i )). On note ˆ
p i : H
1,0 (W Fv ; ˆ
S i
1− ˆ
θ
→ ˆ
U i ) → H
1,0 (W Fv ; ˆ
S 12
1− ˆ
θ
→
ˆ
U 12 ) l’homomorphisme dual de p i . Par compatibilité des produits, on en déduit
que Δ i,imp,v (l
i , l
; h
i , h( ˜
ζ i )) est égal à
(V
L , V
−1
1 , V
−1
2 ), (ν
L
12 , ν
−1
1 , ν
−1
2 )
, ˆ
p i
( ˆ
V
L
i , ˆ
V i , ˆ
V i,sc ), (ζ i,sc , ζ i,sc )
−1
,
où il s’agit du produit sur
H
1,0 (Γ Fv ; U 12
1−θ
→ S 12 ) × H
1,0 (W Fv ; ˆ
S 12
1− ˆ
θ
→ ˆ
U 12 ).
Le tore dual ˆ
S 12 est le groupe des (t
L , t 1 , t 2 , t sc ) ∈ ˆ
T
L
12 × ˆ
T ( ˜
ζ 1 ) × ˆ
T ( ˜
ζ 2 ) × ˆ
T sc
tels que t
L soit le produit des images naturelles de t sc , t 1 et t 2 dans ˆ
T
L
12 . Le
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
on obtient l’égalité
Δ i,imp,v (l
i , l
; h
i , h( ˜
ζ i ))
=
(V
L
i , V
−1
i ), (ν
L
i , ν
−1
i )
,
( ˆ
V
L
i , ˆ
V i , ˆ
V i,sc ), (ζ i,sc , ζ i,sc )
−1
,
où il s’agit du produit sur
H
1,0 (Γ Fv ; U i
1−θ
→ S i ) × H
1,0 (W Fv ; ˆ
S i
1− ˆ
θ
→ ˆ
U i ).
Notons U 12 le produit T
L
sc × T
1
sc × T
2
sc quotienté par Z(G SC ) plongé par z →
(z, z
−1 , z
−1 ). Parce que l’on a choisi les mêmes diagrammes et les mêmes objets
auxiliaires pour construire V
L
1 et V
L
2 , ces deux cochaînes sont égales. Notons-les
simplement V
L . Alors (V
L , V
−1
1 , V
−1
2 ) est une cochaîne à valeurs dans T
L
sc × T
1
sc ×
T
2
sc , qui se descend en un cocycle à valeurs dans U 12 . Rappelons la construction des
éléments ν
L
i . On note e
i l’image de e dans Z( ˜
G
( ˜
ζ i )). On écrit l
i = μ i e
i et l = νe.
Alors ν
L
i est le couple (μ i , ν). Notons T
L
12 le produit fibré de T
L
1 , T
L
2 et T
L audessus de T
L
. On définit l’élément ν
L
12 = (μ 1 , μ 2 , ν) ∈ T
L
12 . Notons Z 12 le groupe
des triplets (z 1 , z 2 , z) ∈ Z(G
1 ( ˜
ζ 1 )) × Z(G
2 ( ˜
ζ 2 )) × Z(G) tels que, pour i = 1, 2,
z i a même image que z dans Z(G
( ˜
ζ i )). Notons S 12 le quotient de T
L
12 × T ( ˜
ζ 1 ) ×
T ( ˜
ζ 2 ) par le groupe Z 12 plongé par (z 1 , z 2 , z) → ((z 1 , z 2 , z), (z 1 , z)
−1 , (z 2 , z)
−1 ).
Le triplet (ν
L
12 , ν
−1
1 , ν
−1
2 ) définit un élément de ce quotient et on voit que la paire
(V
L , V
−1
1 , V
−1
2 ), (ν
L
12 , ν
−1
1 , ν
−1
2 )
est un cocycle appartenant à Z
1,0 (Γ Fv ; U 12
1−θ
→
S 12 ). Il y a des homomorphismes d’oubli d’une série de variables
U 12
1−θ
→ S 12
p 1
p 2
U 1
1−θ
→ S 1
U 2
1−θ
→ S 2 .
En notant encore p i : H
1,0 (Γ Fv ; U 12
1−θ
→ S 12 ) → H
1,0 (Γ Fv ; U i
1−θ
→ S i ) l’homomorphisme déduit par fonctorialité, on a p i ((V
L , V
−1
1 , V
−1
2 ), (ν
L
12 , ν
−1
1 , ν
−1
2 )) =
((V
L
i , V
−1
i ), (ν
L
i , ν
−1
i )). On note ˆ
p i : H
1,0 (W Fv ; ˆ
S i
1− ˆ
θ
→ ˆ
U i ) → H
1,0 (W Fv ; ˆ
S 12
1− ˆ
θ
→
ˆ
U 12 ) l’homomorphisme dual de p i . Par compatibilité des produits, on en déduit
que Δ i,imp,v (l
i , l
; h
i , h( ˜
ζ i )) est égal à
(V
L , V
−1
1 , V
−1
2 ), (ν
L
12 , ν
−1
1 , ν
−1
2 )
, ˆ
p i
( ˆ
V
L
i , ˆ
V i , ˆ
V i,sc ), (ζ i,sc , ζ i,sc )
−1
,
où il s’agit du produit sur
H
1,0 (Γ Fv ; U 12
1−θ
→ S 12 ) × H
1,0 (W Fv ; ˆ
S 12
1− ˆ
θ
→ ˆ
U 12 ).
Le tore dual ˆ
S 12 est le groupe des (t
L , t 1 , t 2 , t sc ) ∈ ˆ
T
L
12 × ˆ
T ( ˜
ζ 1 ) × ˆ
T ( ˜
ζ 2 ) × ˆ
T sc
tels que t
L soit le produit des images naturelles de t sc , t 1 et t 2 dans ˆ
T
L
12 . Le