VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10
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– un élément (ν
L ( ˜
ζ i ), ν
−1
i ) ∈ T
L ( ˜
ζ i ) × T ( ˜
ζ i ) (la dissymétrie de cette notation
et de la suivante s’expliquera plus loin) ;
– un cocycle ( ˆ
V
L ( ˜
ζ i ), ˆ
V i , ˆ
V i,sc ) : W Fv → ˆ
S i ;
– un élément (ζ i,sc , ζ i,sc ) ∈ ˆ
T
L
sc × ˆ
T
i
sc ; pour cela, on note ζ l’élément de ˆ
T tel
que ˜
ζ = ζ ˆ
θ et on choisit des relèvements ζ sc et z sc dans ˆ
T sc des images de ζ
et z dans ˆ
T ad ; on pose ζ 1,sc = ζ sc et ζ 2,sc = z sc ζ sc .
On note encore (V
L
i , V
−1
i ), resp. (ν
L ( ˜
ζ i ), ν
−1
i ), (ζ i,sc , ζ i,sc ), les images de ces
termes dans U i , resp. S i , ˆ
U i . Pour définir les éléments (V
L
i , V
−1
i ) et (ν
L ( ˜
ζ i ), ν
−1
i ),
on doit compléter (B
L,H
v
, T
L,H
v
) en une paire de Borel épinglée E
H et choisir un
élément e
H
∈ Z( ˜
H, E
H ) ainsi qu’une cochaîne u E H : Γ Fv → G SC ( ¯
F v ) comme en
[I] 1.2. Pour cela, on fixe une fois pour toutes une paire de Borel épinglée E
∗ de
G définie sur ¯
F , un élément e
∗
∈ Z( ˜
G, E
∗ ) et une cochaine u E ∗ : Γ F → G SC ( ¯
F ).
On fixe un élément g sc,v ∈ G SC ( ¯
F v ) tel que ad gsc,v (B
∗ , T
∗ ) = (B
L,H
v
, T
L,H
v
).
L’application ad gsc,v envoie l’épinglage de E
∗ sur un épinglage qui complète la
paire (B
L,H
v
, T
L,H
v
). On suppose que E
H est cette paire de Borel complétée par cet
épinglage. On pose e
H = ad gsc,v (e
∗ ) et u E H (σ) = g sc,v u E ∗ (σ)σ(g sc,v )
−1 pour tout
σ ∈ Γ Fv . On notera simplement e = e
H dans la suite.
Par définition, on a l’égalité
Δ i,imp,v (l
i , l
; h
i , h( ˜
ζ i ))
=
(V
L
i , V
−1
i ), (ν
L ( ˜
ζ i ), ν
−1
i )
,
( ˆ
V
L ( ˜
ζ i ), ˆ
V i , ˆ
V i,sc ), (ζ i,sc , ζ i,sc )
−1
,
où il s’agit du produit sur
H
1,0 (Γ Fv ; U i
1−θ
→ S i ) × H
1,0 (W Fv ; ˆ
S i
1− ˆ
θ
→ ˆ
U i ) → C
× .
On a des inclusions G
( ˜
ζ i ) ⊂ H
( ˜
ζ i ). On note G
i ( ˜
ζ i ) l’image réciproque de
G
( ˜
ζ i ) dans la donnée auxiliaire H
i ( ˜
ζ i ) et T
L
i
l’image réciproque de T
L
dans
G
i ( ˜
ζ i ). Notons T
L
i le produit fibré de T
L
i et de T
L au-dessus de T
L
. La différence
avec T
L ( ˜
ζ i ) est qu’ici, les tores restent dans des groupes issus de G et non pas de
H. Posons S i = (T
L
i × T ( ˜
ζ i ))/ diag − (Z i ), où Z i est le produit fibré de Z(G
i ( ˜
ζ i ))
et de Z(G) au dessus de Z(G
( ˜
ζ i )). On a une application naturelle S i → S i . Parce
que les éléments l
i et l sont dans ˜
G
i ( ˜
ζ i ) et ˜
G (et pas seulement dans ˜
H
i ( ˜
ζ i ) et ˜
H)
et parce que l’on a choisi e ∈ ˜
G, on vérifie que le couple (ν
L ( ˜
ζ i ), ν
−1
i ) appartient à
T
L
i × T
i et définit donc un élément de S i , que l’on note plutôt (ν
L
i , ν
−1
i ). Toujours
d’après le choix de e, on vérifie que le couple
(V
L
i , V
−1
i ), (ν
L
i , ν
−1
i )
est un cocycle
appartenant à Z
1,0 (Γ Fv ; U i
1−θ
→ S i ). Le tore dual ˆ
T
L
i est le quotient de ˆ
T
L
i × ˆ
T
L
par ˆ
T
L
plongé par t
→ ( ˆ
ξ i (t
)
−1 , t
). Le tore dual ˆ
S i est le groupe des (t
L , t, t sc ) ∈
ˆ
T
L
i × ˆ
T ( ˜
ζ i ) × ˆ
T sc tels que t
L est l’image naturelle dans ˆ
T
L
i de l’élément j(t sc )t.
On note ˆ
V
L
i l’image naturelle de ˆ
V
L ( ˜
ζ i ) dans ˆ
T
L
i . Par compatibilité des produits,