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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
les mêmes a-data et χ-data pour calculer les facteurs de transfert intervenant
ci-dessus. On doit aussi fixer des diagrammes
(h
( ˜
ζ i ), B
( ˜
ζ i ), T
( ˜
ζ i ), B( ˜
ζ i ), T ( ˜
ζ i ), h( ˜
ζ i ))
pour i = 1, 2, où h
( ˜
ζ i ) est l’image de h
i dans ˜
H
( ˜
ζ i ). On peut supposer et on
suppose que le tore T
( ˜
ζ i ) est défini sur F et que le groupe de Borel B
( ˜
ζ i ) est
défini sur ¯
F . Dans chaque facteur de transfert interviennent des facteurs Δ II . Ceux
relatifs aux couples (h
i , h( ˜
ζ i )) disparaissent car leur intervention dans le facteur
global compense leurs interventions dans les facteurs locaux. Ceux relatifs aux
couples (l
i , l) disparaissent aussi. En effet, pour chaque v ∈ V , la contribution aux
facteurs Δ i,v des orbites galoisiennes dans ˜
L v est la même pour les deux facteurs.
Les orbites hors de ˜
L v sont asymétriques et leur contribution est triviale d’après
le choix de nos χ-data. On peut donc remplacer chaque facteur de transfert par le
facteur Δ imp correspondant.
Fixons provisoirement v ∈ V et abandonnons les indices v pour simplifier.
Soit i = 1, 2. On introduit les tores
U i = (T
L
sc × T sc ( ˜
ζ i ))/ diag − (Z(G SC ));
– T
L ( ˜
ζ i ) le produit fibré de T
L
i ( ˜
ζ i ) et de T
L,H au-dessus de T
L
( ˜
ζ i ), où T
L
i ( ˜
ζ i )
est l’image réciproque de T
L
( ˜
ζ i ) dans la donnée auxiliaire H
i ( ˜
ζ i ) ;
– T ( ˜
ζ i ) le produit fibré de T
i ( ˜
ζ i ) et de T ( ˜
ζ i ) au-dessus de T
( ˜
ζ i ), où T
i ( ˜
ζ i ) est
l’image réciproque de T
( ˜
ζ i ) dans la donnée auxiliaire H
i ( ˜
ζ i ) ;
– S i = (T
L ( ˜
ζ i ) × T ( ˜
ζ i ))/ diag − (Z
H
i ), où Z
H
i est le produit fibré de Z(H
i ( ˜
ζ i ))
et de Z(H) au dessus de Z(H
( ˜
ζ i )) ;
– le tore dual ˆ
U i = ( ˆ
T
L
sc × ˆ
T sc ( ˜
ζ i ))/ diag(Z( ˆ
G SC )) ;
– le tore dual ˆ
T
L ( ˜
ζ i ) qui est le quotient de ˆ
T
L
i ( ˜
ζ i ) et de ˆ
T
L,H par ˆ
T
L
( ˜
ζ i )
plongé par t
→ ( ˆ
ξ
H
i (t
)
−1 , t
) (on note ˆ
ξ
H
i : H
( ˜
ζ i ) →
L H
i ( ˜
ζ i ) le plongement
fixé) ;
– le tore dual ˆ
T ( ˜
ζ i ) qui se décrit de la même façon ;
– le tore dual ˆ
S i qui se décrit comme le sous-groupe des (t
L , t, t sc ) ∈ ˆ
T
L ( ˜
ζ i ) ×
ˆ
T ( ˜
ζ i ) × ˆ
T sc tels que j(t sc ) = t
L t
−1 ; on a ici identifié tous les tores à un tore
commun, en oubliant leurs actions galoisiennes ; j est l’application naturelle
j : ˆ
T sc → ˆ
T
L ( ˜
ζ i ) ˆ
T ( ˜
ζ i ) ; on renvoie à [I] 2.2 pour la description de l’action
galoisienne sur ˆ
S i .
Remarque. Dans la description de U i et ˆ
U i apparaissent a priori les groupes H
et ˆ
H. Mais ils n’apparaissent que via leurs revêtements simplement connexes, qui
s’identifient à G SC et ˆ
G SC .
On construit comme en [II] 2.2, 2.3 :
– une cochaîne (V
L
i , V
−1
i ) : Γ Fv → T
L
sc × T sc ( ˜
ζ i ) ;