VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10
729
On se rappelle la définition de ˜
λ
M . Parce que les éléments m
1 et m
2 sont définis
sur F , on a
˜
λ
M (m
1 , m
2 ) =
v ∈V
˜
λ
M
v (m
1 , m
2 )
−1 ,
où les ˜
λ
M
v pour v ∈ V sont les fonctions de recollement associées aux espaces hyperspéciaux ˜
K i,v ∩ ˜
M
i (F v ) pour i = 1, 2. Puisqu’on a supposé que L
v = L
v ( ˜
ζ 1 )
L
v ( ˜
ζ 2 ) était relevant pour tout v ∈ V , on peut fixer l ∈
v∈V K ˜
L v (F v ) assez régulier et l
∈
v∈V
˜
L
v (F v ) dont les classes de conjugaison stable se correspondent.
On note ˜
L v la composante de K ˜
L v telle que l appartienne à
v∈V
˜
L v (F v ). On note
˜
G la composante de K ˜
G telle que ˜
L v ⊂ ˜
G v pour tout v ∈ V et on note ˜
H la composante de K ˜
H qui contient ˜
G. Pour i = 1, 2 on fixe l
i ∈
v∈V
˜
L
i,v (F v ) au-dessus
de l
. Notons (a 1 , a 2 ) l’élément du produit fibré
v∈V L
1,v (F v ) × L (Fv ) L
2,v (F v )
tel que (r
1 , r
2 ) = (a 1 l
1 , a 2 l
2 ). On a l’égalité
˜
λ
L (r
1 , r
2 ) = λ
L (a 1 , a 2 ) ˜
λ
L (l
1 , l
2 ) = λ
L (a 1 , a 2 )Δ 2 (l
2 , l)Δ 1 (l
1 , l)
−1 .
Pour calculer les facteurs de transfert, on utilise la définition de 3.9. Pour i = 1, 2,
on a relève la donnée endoscopique G
( ˜
ζ i ) en une donnée de (KH, K ˜
H, b), que
l’on note pour simplifier H
( ˜
ζ i ), munie de données auxiliaires. On choisit un couple
comme en 3.6, qui est noté (δ 1 , γ) dans ce paragraphe, et que nous noterons ici
(h
i , h( ˜
ζ i )). On dispose du facteur global que l’on note Δ i,glob (h
i , h( ˜
ζ i )) pour i =
1, 2. Par définition
Δ i (l
i , l) = Δ i,glob (h
i , h( ˜
ζ i ))
v ∈V
Δ i,v (h
i , h( ˜
ζ i ))
−1
v∈V
Δ i,v (l
i , l; h
i , h( ˜
ζ i ))
.
A ce point, on obtient l’égalité
(17)
˜
λ(r
1 ) = λ
M (b 1 , b 2 )
−1 λ
L (a 1 , a 2 )Δ 2,glob (h
2 , h( ˜
ζ 2 ))Δ 1,glob (h
1 , h( ˜
ζ 1 ))
−1
v ∈V
˜
λ
M
v (m
1 , m
2 )Δ 1,v (h
1 , h( ˜
ζ 1 ))Δ 2,v (h
2 , h( ˜
ζ 2 ))
−1
v∈V
Δ 2,v (l
2 , l; h
2 , h( ˜
ζ 2 ))Δ 1,v (l
1 , l
; h
1 , h( ˜
ζ 1 ))
−1
.
Pour tout v ∈ V , on fixe un diagramme (l
, B
L
v , T
L
v , B
L
v , T
L
v , l) et des adata et des χ-data relatives à ce diagramme. On suppose les χ-data triviales sur
les orbites asymétriques. On a la complication que l’on doit plonger G et G
( ˜
ζ i )
pour i = 1, 2 dans les groupes plus gros H et H
( ˜
ζ i ). Il est clair que notre diagramme se prolonge en des diagrammes relatifs à ces groupes plus gros, que l’on
note (l
, B
L
v ( ˜
ζ i ), T
L
v ( ˜
ζ i ), B
L,H
v
, T
L,H
v
, l). On utilise les diagrammes prolongés et
729
On se rappelle la définition de ˜
λ
M . Parce que les éléments m
1 et m
2 sont définis
sur F , on a
˜
λ
M (m
1 , m
2 ) =
v ∈V
˜
λ
M
v (m
1 , m
2 )
−1 ,
où les ˜
λ
M
v pour v ∈ V sont les fonctions de recollement associées aux espaces hyperspéciaux ˜
K i,v ∩ ˜
M
i (F v ) pour i = 1, 2. Puisqu’on a supposé que L
v = L
v ( ˜
ζ 1 )
L
v ( ˜
ζ 2 ) était relevant pour tout v ∈ V , on peut fixer l ∈
v∈V K ˜
L v (F v ) assez régulier et l
∈
v∈V
˜
L
v (F v ) dont les classes de conjugaison stable se correspondent.
On note ˜
L v la composante de K ˜
L v telle que l appartienne à
v∈V
˜
L v (F v ). On note
˜
G la composante de K ˜
G telle que ˜
L v ⊂ ˜
G v pour tout v ∈ V et on note ˜
H la composante de K ˜
H qui contient ˜
G. Pour i = 1, 2 on fixe l
i ∈
v∈V
˜
L
i,v (F v ) au-dessus
de l
. Notons (a 1 , a 2 ) l’élément du produit fibré
v∈V L
1,v (F v ) × L (Fv ) L
2,v (F v )
tel que (r
1 , r
2 ) = (a 1 l
1 , a 2 l
2 ). On a l’égalité
˜
λ
L (r
1 , r
2 ) = λ
L (a 1 , a 2 ) ˜
λ
L (l
1 , l
2 ) = λ
L (a 1 , a 2 )Δ 2 (l
2 , l)Δ 1 (l
1 , l)
−1 .
Pour calculer les facteurs de transfert, on utilise la définition de 3.9. Pour i = 1, 2,
on a relève la donnée endoscopique G
( ˜
ζ i ) en une donnée de (KH, K ˜
H, b), que
l’on note pour simplifier H
( ˜
ζ i ), munie de données auxiliaires. On choisit un couple
comme en 3.6, qui est noté (δ 1 , γ) dans ce paragraphe, et que nous noterons ici
(h
i , h( ˜
ζ i )). On dispose du facteur global que l’on note Δ i,glob (h
i , h( ˜
ζ i )) pour i =
1, 2. Par définition
Δ i (l
i , l) = Δ i,glob (h
i , h( ˜
ζ i ))
v ∈V
Δ i,v (h
i , h( ˜
ζ i ))
−1
v∈V
Δ i,v (l
i , l; h
i , h( ˜
ζ i ))
.
A ce point, on obtient l’égalité
(17)
˜
λ(r
1 ) = λ
M (b 1 , b 2 )
−1 λ
L (a 1 , a 2 )Δ 2,glob (h
2 , h( ˜
ζ 2 ))Δ 1,glob (h
1 , h( ˜
ζ 1 ))
−1
v ∈V
˜
λ
M
v (m
1 , m
2 )Δ 1,v (h
1 , h( ˜
ζ 1 ))Δ 2,v (h
2 , h( ˜
ζ 2 ))
−1
v∈V
Δ 2,v (l
2 , l; h
2 , h( ˜
ζ 2 ))Δ 1,v (l
1 , l
; h
1 , h( ˜
ζ 1 ))
−1
.
Pour tout v ∈ V , on fixe un diagramme (l
, B
L
v , T
L
v , B
L
v , T
L
v , l) et des adata et des χ-data relatives à ce diagramme. On suppose les χ-data triviales sur
les orbites asymétriques. On a la complication que l’on doit plonger G et G
( ˜
ζ i )
pour i = 1, 2 dans les groupes plus gros H et H
( ˜
ζ i ). Il est clair que notre diagramme se prolonge en des diagrammes relatifs à ces groupes plus gros, que l’on
note (l
, B
L
v ( ˜
ζ i ), T
L
v ( ˜
ζ i ), B
L,H
v
, T
L,H
v
, l). On utilise les diagrammes prolongés et