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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
les places v ∈ V . C’est alors la restriction du facteur canonique Δ 1 (z ˜
ζ) issu de la
donnée G
(z ˜
ζ). On se retrouve avec deux séries de données auxiliaires pour L
V ,
d’où une fonction de recollement ˜
λ(z)
L . Il s’en déduit encore un isomorphisme
ι(z)
L,∗ :
v∈V
D
st
g´ eom,λ1,v (z ˜
ζ)
( ˜
R
1,v (z ˜
ζ; F v ))
v∈V
D
st
g´ eom,λ1,v ( ˜
R
1,v (F v )).
Le transfert commute au recollement donc celui-ci envoie ⊗ v∈V (f ˜
Lv,ω )
˜
L
1,v (z ˜
ζ) sur
⊗ v∈V (f ˜
Lv,ω )
˜
L
1,v . Il envoie d(z ˜
ζ) sur ι(z)
L,∗ (d(z ˜
ζ)) = ι(z)
L,∗
◦ (ι(z)
M,∗ )
−1 (d).
En décomposant nos isomorphismes de recollement en produits tensoriels sur les
v ∈ V , on obtient l’égalité
v∈V
S
˜
L
1,v (z ˜
ζ)
˜
R
1,v (z ˜
ζ),λ1,v (z ˜
ζ)
(d v (z ˜
ζ), B
˜
G , (f ˜
Lv,ω )
˜
L
1,v (z ˜
ζ) )
=
v∈V
S
˜
L
1,v
˜
R
1,v ,λ1,v
((ι(z)
L,∗
v
◦ (ι(z)
M,∗
v
)
−1 (d v ), B
˜
G , (f ˜
Lv,ω )
˜
L
1,v ).
Il nous suffit de prouver que
z∈Z
ι(z)
L,∗
◦ (ι(z)
M,∗ )
−1 (d) = 0.
L’automorphisme (ι(z)
M )
−1
◦ ι(z)
L de
v∈V C
∞
c,λ1,v ( ˜
R
1,v (F v )) est de la forme
ϕ → ˜
λ z ϕ, où ˜
λ z est une fonction lisse sur
v∈V
˜
R
1,v (F v ). Il nous suffit encore de
prouver que
(16)
z∈Z
˜
λ z (γ) = 0 pour tout γ ∈
v∈V
˜
R
1,v (F v ) dans un voisinage invariant
par conjugaison stable de l’élément =
v∈V v fixé plus haut.
On fixe de nouveau z que l’on écrit comme ci-dessus. On va calculer ˜
λ z . On
simplifie les notations en posant ˜
λ = ˜
λ z , ˜
λ
M = ˜
λ(z)
M etc. . . On pose ˜
ζ 1 = ˜
ζ et
˜
ζ 2 = z ˜
ζ. On supprime autant que c’est possible ces termes de la notation. Les
données relatives à ˜
ζ 1 seront affectées d’un indice 1 et celles relatives à ˜
ζ 2 d’un
indice 2 (par exemple, on note ˜
R
2,v l’espace noté précédemment ˜
R
1,v (z ˜
ζ)). Soit
r
∈
v∈V
˜
R
v (F v ) et, pour i = 1, 2, soit r
i ∈
v∈V
˜
R
i,v (F v ) un élément au-dessus
de r
. Par définition,
˜
λ(r
1 ) = ˜
λ
M (r
1 , r
2 )
−1 ˜
λ
L (r
1 , r
2 ),
où ˜
λ
M et ˜
λ
L sont les fonctions de recollement introduites ci-dessus. Fixons m
∈
˜
M
(F ) et, pour i = 1, 2, un élément m
i ∈ ˜
M
i (F ) au-dessus de m
. Soit (b 1 , b 2 )
l’élément du produit fibré M
1 (F V )× M (FV ) M
2 (F V ) tel que (r
1 , r
2 ) = (b 1 m
1 , b 2 m
2 ).
On a l’égalité
˜
λ
M (r
1 , r
2 ) = λ
M (b 1 , b 2 ) ˜
λ
M (m
1 , m
2 ).
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
les places v ∈ V . C’est alors la restriction du facteur canonique Δ 1 (z ˜
ζ) issu de la
donnée G
(z ˜
ζ). On se retrouve avec deux séries de données auxiliaires pour L
V ,
d’où une fonction de recollement ˜
λ(z)
L . Il s’en déduit encore un isomorphisme
ι(z)
L,∗ :
v∈V
D
st
g´ eom,λ1,v (z ˜
ζ)
( ˜
R
1,v (z ˜
ζ; F v ))
v∈V
D
st
g´ eom,λ1,v ( ˜
R
1,v (F v )).
Le transfert commute au recollement donc celui-ci envoie ⊗ v∈V (f ˜
Lv,ω )
˜
L
1,v (z ˜
ζ) sur
⊗ v∈V (f ˜
Lv,ω )
˜
L
1,v . Il envoie d(z ˜
ζ) sur ι(z)
L,∗ (d(z ˜
ζ)) = ι(z)
L,∗
◦ (ι(z)
M,∗ )
−1 (d).
En décomposant nos isomorphismes de recollement en produits tensoriels sur les
v ∈ V , on obtient l’égalité
v∈V
S
˜
L
1,v (z ˜
ζ)
˜
R
1,v (z ˜
ζ),λ1,v (z ˜
ζ)
(d v (z ˜
ζ), B
˜
G , (f ˜
Lv,ω )
˜
L
1,v (z ˜
ζ) )
=
v∈V
S
˜
L
1,v
˜
R
1,v ,λ1,v
((ι(z)
L,∗
v
◦ (ι(z)
M,∗
v
)
−1 (d v ), B
˜
G , (f ˜
Lv,ω )
˜
L
1,v ).
Il nous suffit de prouver que
z∈Z
ι(z)
L,∗
◦ (ι(z)
M,∗ )
−1 (d) = 0.
L’automorphisme (ι(z)
M )
−1
◦ ι(z)
L de
v∈V C
∞
c,λ1,v ( ˜
R
1,v (F v )) est de la forme
ϕ → ˜
λ z ϕ, où ˜
λ z est une fonction lisse sur
v∈V
˜
R
1,v (F v ). Il nous suffit encore de
prouver que
(16)
z∈Z
˜
λ z (γ) = 0 pour tout γ ∈
v∈V
˜
R
1,v (F v ) dans un voisinage invariant
par conjugaison stable de l’élément =
v∈V v fixé plus haut.
On fixe de nouveau z que l’on écrit comme ci-dessus. On va calculer ˜
λ z . On
simplifie les notations en posant ˜
λ = ˜
λ z , ˜
λ
M = ˜
λ(z)
M etc. . . On pose ˜
ζ 1 = ˜
ζ et
˜
ζ 2 = z ˜
ζ. On supprime autant que c’est possible ces termes de la notation. Les
données relatives à ˜
ζ 1 seront affectées d’un indice 1 et celles relatives à ˜
ζ 2 d’un
indice 2 (par exemple, on note ˜
R
2,v l’espace noté précédemment ˜
R
1,v (z ˜
ζ)). Soit
r
∈
v∈V
˜
R
v (F v ) et, pour i = 1, 2, soit r
i ∈
v∈V
˜
R
i,v (F v ) un élément au-dessus
de r
. Par définition,
˜
λ(r
1 ) = ˜
λ
M (r
1 , r
2 )
−1 ˜
λ
L (r
1 , r
2 ),
où ˜
λ
M et ˜
λ
L sont les fonctions de recollement introduites ci-dessus. Fixons m
∈
˜
M
(F ) et, pour i = 1, 2, un élément m
i ∈ ˜
M
i (F ) au-dessus de m
. Soit (b 1 , b 2 )
l’élément du produit fibré M
1 (F V )× M (FV ) M
2 (F V ) tel que (r
1 , r
2 ) = (b 1 m
1 , b 2 m
2 ).
On a l’égalité
˜
λ
M (r
1 , r
2 ) = λ
M (b 1 , b 2 ) ˜
λ
M (m
1 , m
2 ).