VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10
727
La propriété requise dépend d’un élément ˜
s 0 . Pour la simplicité de l’écriture, on
peut supposer ˜
s 0 = ˜
ζ. On a
(15) pour ˜
s ∈ Z ˜
ζ, les données endoscopiques L
V (˜ s) et L
V = L
V ( ˜
ζ) sont équivalentes ; si ces données sont elliptiques, on a X(˜ s) = X( ˜
ζ).
Soit z un représentant dans Z( ˆ
M ) d’un élément de Z. Pour toute place v ∈ V ,
on écrit z = τ v (1 − ˆ
θ)(ρ v ), avec τ v ∈ Z( ˆ
L v )
ΓF v et ρ v ∈ Z( ˆ
R v ) ∗ . Puisque ρ v ∈ ˆ
R v ⊂
ˆ
L v , ad ρv est un automorphisme intérieur de ˆ
L v . On a l’égalité z ˜
ζ = ρ v τ v ˜
ζρ
−1
v ,
donc ad ρv envoie ˆ
L
v (τ v ˜
ζ) sur ˆ
L
v (z ˜
ζ). Puisque τ v ∈ Z( ˆ
L v ), on a ˆ
L
v (τ v ˜
ζ) = ˆ
L
v . Les
groupes L
v et L
v (z ˜
ζ) sont engendrés par R
v = M
v ∩
L R v et ˆ
L
v , respectivement
ˆ
L
v (z ˜
ζ). Puisque ρ v ∈ Z( ˆ
R v ) ∗ , ad ρv conserve R
v . Donc ad ρv envoie L
v sur L
v (z ˜
ζ).
Autrement dit, ρ v définit une équivalence entre les données L
v et L
v (z ˜
ζ). L’égalité
X(˜ s) = X( ˜
ζ) résulte évidemment de la définition de ces termes. Cela prouve (15).
On peut supposer L
V elliptique, sinon X( ˜
ζ) = 0. La somme que l’on considère
est proportionnelle à
z∈Z
v∈V
S
˜
L
1,v (z ˜
ζ)
˜
R
1,v (z ˜
ζ),λ1,v (z ˜
ζ)
(d v (z ˜
ζ), B
˜
G , (f ˜
Lv,ω )
˜
L
1,v (z ˜
ζ) ).
Fixons z ∈ Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ relevant un élément de Z. Puisque
Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ = Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0 Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ ,
on peut supposer z ∈ Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0 . Comme dans la preuve de (15), on écrit z =
τ v (1 − ˆ
θ)(ρ v ) pour toute place v ∈ V , où τ v ∈ Z( ˆ
L v )
ΓF v et ρ v ∈ Z( ˆ
R v ) ∗ . Les
deux séries de données auxiliaires M
1 = M
1 ( ˜
ζ),. . . et M
1 (z ˜
ζ),. . . fournissent une
fonction de recollement ˜
λ(z)
M sur le produit fibré ˜
M
1,V (F V ) × ˜
M
1,V (z ˜
ζ; F V ). Par
restriction puis dualité, on en déduit un isomorphisme
ι(z)
M,∗ :
v∈V
D
st
g´ eom,λ1,v (z ˜
ζ)
( ˜
R
1,v (z ˜
ζ; F v ))
v∈V
D
st
g´ eom,λ1,v ( ˜
R
1,v (F v )).
En posant d = ⊗ v∈V d v , on a par définition, d = ι(z)
M,∗ (d(z ˜
ζ)).
Pour tout v ∈ V , on complète la paire de Borel ( ˆ
B ∩ ˆ
L
v , ˆ
T
ˆ
θ,0 ) de ˆ
L
v en une
paire de Borel épinglée invariante par Γ Fv . De même pour ˆ
L
v (z ˜
ζ). On peut supposer que les restrictions à ˆ
R
v de ces deux épinglages coïncident. Quitte à multiplier
ρ v par un élément de Z( ˆ
R v ) ∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 , ce qui ne change pas (1 − ˆ
θ)(ρ v ), on peut
supposer que ad ρv échange ces deux épinglages. Alors ad ρv devient équivariant
pour les actions galoisiennes. On peut identifier les groupes L
v et L
v (z ˜
ζ) ainsi que
les espaces ˜
L
v et ˜
L
v (z ˜
ζ). Les données auxiliaires L
1,v (z ˜
ζ) etc. . . se transportent
en des données auxiliaires pour L
v . Le plongement de L
v dans
L L
1,v (z ˜
ζ) est le
composé de ad ρv et du plongement ˆ
ξ 1 (z ˜
ζ) : L
v (z ˜
ζ) →
L L 1,v (z ˜
ζ). Le facteur de
transfert n’est bien défini que sur le produit de ces données auxiliaires sur toutes
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La propriété requise dépend d’un élément ˜
s 0 . Pour la simplicité de l’écriture, on
peut supposer ˜
s 0 = ˜
ζ. On a
(15) pour ˜
s ∈ Z ˜
ζ, les données endoscopiques L
V (˜ s) et L
V = L
V ( ˜
ζ) sont équivalentes ; si ces données sont elliptiques, on a X(˜ s) = X( ˜
ζ).
Soit z un représentant dans Z( ˆ
M ) d’un élément de Z. Pour toute place v ∈ V ,
on écrit z = τ v (1 − ˆ
θ)(ρ v ), avec τ v ∈ Z( ˆ
L v )
ΓF v et ρ v ∈ Z( ˆ
R v ) ∗ . Puisque ρ v ∈ ˆ
R v ⊂
ˆ
L v , ad ρv est un automorphisme intérieur de ˆ
L v . On a l’égalité z ˜
ζ = ρ v τ v ˜
ζρ
−1
v ,
donc ad ρv envoie ˆ
L
v (τ v ˜
ζ) sur ˆ
L
v (z ˜
ζ). Puisque τ v ∈ Z( ˆ
L v ), on a ˆ
L
v (τ v ˜
ζ) = ˆ
L
v . Les
groupes L
v et L
v (z ˜
ζ) sont engendrés par R
v = M
v ∩
L R v et ˆ
L
v , respectivement
ˆ
L
v (z ˜
ζ). Puisque ρ v ∈ Z( ˆ
R v ) ∗ , ad ρv conserve R
v . Donc ad ρv envoie L
v sur L
v (z ˜
ζ).
Autrement dit, ρ v définit une équivalence entre les données L
v et L
v (z ˜
ζ). L’égalité
X(˜ s) = X( ˜
ζ) résulte évidemment de la définition de ces termes. Cela prouve (15).
On peut supposer L
V elliptique, sinon X( ˜
ζ) = 0. La somme que l’on considère
est proportionnelle à
z∈Z
v∈V
S
˜
L
1,v (z ˜
ζ)
˜
R
1,v (z ˜
ζ),λ1,v (z ˜
ζ)
(d v (z ˜
ζ), B
˜
G , (f ˜
Lv,ω )
˜
L
1,v (z ˜
ζ) ).
Fixons z ∈ Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ relevant un élément de Z. Puisque
Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ = Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0 Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ ,
on peut supposer z ∈ Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0 . Comme dans la preuve de (15), on écrit z =
τ v (1 − ˆ
θ)(ρ v ) pour toute place v ∈ V , où τ v ∈ Z( ˆ
L v )
ΓF v et ρ v ∈ Z( ˆ
R v ) ∗ . Les
deux séries de données auxiliaires M
1 = M
1 ( ˜
ζ),. . . et M
1 (z ˜
ζ),. . . fournissent une
fonction de recollement ˜
λ(z)
M sur le produit fibré ˜
M
1,V (F V ) × ˜
M
1,V (z ˜
ζ; F V ). Par
restriction puis dualité, on en déduit un isomorphisme
ι(z)
M,∗ :
v∈V
D
st
g´ eom,λ1,v (z ˜
ζ)
( ˜
R
1,v (z ˜
ζ; F v ))
v∈V
D
st
g´ eom,λ1,v ( ˜
R
1,v (F v )).
En posant d = ⊗ v∈V d v , on a par définition, d = ι(z)
M,∗ (d(z ˜
ζ)).
Pour tout v ∈ V , on complète la paire de Borel ( ˆ
B ∩ ˆ
L
v , ˆ
T
ˆ
θ,0 ) de ˆ
L
v en une
paire de Borel épinglée invariante par Γ Fv . De même pour ˆ
L
v (z ˜
ζ). On peut supposer que les restrictions à ˆ
R
v de ces deux épinglages coïncident. Quitte à multiplier
ρ v par un élément de Z( ˆ
R v ) ∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 , ce qui ne change pas (1 − ˆ
θ)(ρ v ), on peut
supposer que ad ρv échange ces deux épinglages. Alors ad ρv devient équivariant
pour les actions galoisiennes. On peut identifier les groupes L
v et L
v (z ˜
ζ) ainsi que
les espaces ˜
L
v et ˜
L
v (z ˜
ζ). Les données auxiliaires L
1,v (z ˜
ζ) etc. . . se transportent
en des données auxiliaires pour L
v . Le plongement de L
v dans
L L
1,v (z ˜
ζ) est le
composé de ad ρv et du plongement ˆ
ξ 1 (z ˜
ζ) : L
v (z ˜
ζ) →
L L 1,v (z ˜
ζ). Le facteur de
transfert n’est bien défini que sur le produit de ces données auxiliaires sur toutes