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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
Les lignes et colonnes sont exactes. Il en resulte que | ker(ˆ ι v )| = | ker(ˆ κ v )|. Mais
ce dernier nombre est égal au membre de droite de (13). Cela prouve (13), (12) et
achève la preuve de (6).
Si D n’est pas un isomorphisme, (5) entraîne que J( ˆ
R V , ˆ
L V , δ, f) = 0 et
on a fini. On suppose maintenant que D est un isomorphisme. On peut supposer qu’il existe ˜
s intervenant dans la définition (3) tel que (f
˜
G
1,v (˜ s)
v
) ˜
L
1,v (˜ s) soit
non nul pour tout v ∈ V . Cela entraîne que le Levi ˜
L
v (˜ s) est relevant. A fortiori, ˆ
L v correspond à un K-espace de Levi K ˜
L v de K ˜
G v . On peut fixer une
collection K ˜
L V = (K ˜
L v ) v∈V de tels K-espaces de Levi et identifier L v (˜ s) à une
donnée endoscopique elliptique de (KL V , K ˜
L V , a L ). On a pour tout v l’égalité
(f
˜
G
1,v (˜ s)
v
) ˜
L
1,v (˜ s) = (f v,K ˜
Lv,ωv )
˜
L
1,v (˜ s) . On se sert ici de la restriction du facteur de
transfert fixé sur ˜
G
1 (˜ s, F v ) × ˜
G(F v ) pour définir le transfert. Rappelons que le
terme i ˜
R
v
( ˜
L v , ˜
L
v (˜ s)) est nul si L
V (˜ s) n’est pas elliptique. Compte tenu de l’égalité
(6), la définition (3) se récrit
(14)
J( ˆ
R V , ˆ
L V , δ, f) = c
˜
s∈Z( ˆ
RV )/Z( ˆ
G)
Γ F , ˆ
θ
X(˜ s)
v∈V
S
˜
L
1,v (˜ s)
˜
R
1,v (˜ s),λ1,v (˜ s)
d v (˜ s), B
˜
G (f v,K ˜
Lv,ωv )
˜
L
1,v (˜ s)
,
où
c = e(D)
v∈V
i ˜
M
v
( ˆ
R v , ˜
R
v )
et
X(˜ s) =
v∈V
i ˜
R
v
( ˜
L v , ˜
L
v (˜ s)).
Pour toute place v ∈ V , introduisons le groupe Z( ˆ
R v ) ∗ image réciproque dans
Z( ˆ
R) de (Z( ˆ
R v )/Z( ˆ
R v ) ∩ Z( ˆ
R
v ))
ΓF v . Le sous-groupe des éléments invariants par
ˆ
θ dans
∩ v∈V Z( ˆ
L v )
ΓF v (1 − ˆ
θ)(Z( ˆ
R v ) ∗ )
contient ∩ v∈V Z( ˆ
L v )
ΓF v , ˆ
θ comme sous-groupe d’indice fini. Le groupe
(Z( ˆ
R V ) ∩ ∩ v∈V Z( ˆ
L v )
ΓF v , ˆ
θ )/Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ
est le noyau de ˆ
D donc est fini. Il en résulte que le groupe
Z( ˆ
R V ) ∩ ∩ v∈V Z( ˆ
L v )
ΓF v (1 − ˆ
θ)(Z( ˆ
R v ) ∗ )
/Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ
est fini. Il nous suffit d’en trouver un sous-groupe Z vérifiant la propriété suivante.
Fixons ˜
s 0 ∈ ˜
ζZ( ˆ
R V )/Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ . Alors, dans l’expression (14), la sous-somme sur
˜
s ∈ Z˜ s 0 est nulle. Considérons donc un sous-groupe Z que l’on précisera plus tard.
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
Les lignes et colonnes sont exactes. Il en resulte que | ker(ˆ ι v )| = | ker(ˆ κ v )|. Mais
ce dernier nombre est égal au membre de droite de (13). Cela prouve (13), (12) et
achève la preuve de (6).
Si D n’est pas un isomorphisme, (5) entraîne que J( ˆ
R V , ˆ
L V , δ, f) = 0 et
on a fini. On suppose maintenant que D est un isomorphisme. On peut supposer qu’il existe ˜
s intervenant dans la définition (3) tel que (f
˜
G
1,v (˜ s)
v
) ˜
L
1,v (˜ s) soit
non nul pour tout v ∈ V . Cela entraîne que le Levi ˜
L
v (˜ s) est relevant. A fortiori, ˆ
L v correspond à un K-espace de Levi K ˜
L v de K ˜
G v . On peut fixer une
collection K ˜
L V = (K ˜
L v ) v∈V de tels K-espaces de Levi et identifier L v (˜ s) à une
donnée endoscopique elliptique de (KL V , K ˜
L V , a L ). On a pour tout v l’égalité
(f
˜
G
1,v (˜ s)
v
) ˜
L
1,v (˜ s) = (f v,K ˜
Lv,ωv )
˜
L
1,v (˜ s) . On se sert ici de la restriction du facteur de
transfert fixé sur ˜
G
1 (˜ s, F v ) × ˜
G(F v ) pour définir le transfert. Rappelons que le
terme i ˜
R
v
( ˜
L v , ˜
L
v (˜ s)) est nul si L
V (˜ s) n’est pas elliptique. Compte tenu de l’égalité
(6), la définition (3) se récrit
(14)
J( ˆ
R V , ˆ
L V , δ, f) = c
˜
s∈Z( ˆ
RV )/Z( ˆ
G)
Γ F , ˆ
θ
X(˜ s)
v∈V
S
˜
L
1,v (˜ s)
˜
R
1,v (˜ s),λ1,v (˜ s)
d v (˜ s), B
˜
G (f v,K ˜
Lv,ωv )
˜
L
1,v (˜ s)
,
où
c = e(D)
v∈V
i ˜
M
v
( ˆ
R v , ˜
R
v )
et
X(˜ s) =
v∈V
i ˜
R
v
( ˜
L v , ˜
L
v (˜ s)).
Pour toute place v ∈ V , introduisons le groupe Z( ˆ
R v ) ∗ image réciproque dans
Z( ˆ
R) de (Z( ˆ
R v )/Z( ˆ
R v ) ∩ Z( ˆ
R
v ))
ΓF v . Le sous-groupe des éléments invariants par
ˆ
θ dans
∩ v∈V Z( ˆ
L v )
ΓF v (1 − ˆ
θ)(Z( ˆ
R v ) ∗ )
contient ∩ v∈V Z( ˆ
L v )
ΓF v , ˆ
θ comme sous-groupe d’indice fini. Le groupe
(Z( ˆ
R V ) ∩ ∩ v∈V Z( ˆ
L v )
ΓF v , ˆ
θ )/Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ
est le noyau de ˆ
D donc est fini. Il en résulte que le groupe
Z( ˆ
R V ) ∩ ∩ v∈V Z( ˆ
L v )
ΓF v (1 − ˆ
θ)(Z( ˆ
R v ) ∗ )
/Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ
est fini. Il nous suffit d’en trouver un sous-groupe Z vérifiant la propriété suivante.
Fixons ˜
s 0 ∈ ˜
ζZ( ˆ
R V )/Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ . Alors, dans l’expression (14), la sous-somme sur
˜
s ∈ Z˜ s 0 est nulle. Considérons donc un sous-groupe Z que l’on précisera plus tard.