VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10
725
d
˜
G
(˜ s)
˜
M
V
( ˜
M
, ˜
L
V (˜ s)) et de l’inverse de k
˜
G
(˜ s)
˜
M
V
( ˜
M
, ˜
L
V (˜ s)), ce terme étant le nombre
d’éléments d’un certain noyau. L’égalité (10) montre que le produit des constantes
d est égal à d(D). Pour prouver (6), il suffit de prouver l’égalité
(12)
k(D)
−1
v∈V
i ˜
M
v
( ˆ
R v , ˜
R
v )i ˜
R
v
( ˆ
L v , ˜
L
v (˜ s))
= i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))k
˜
G
(˜ s)
˜
M
V
( ˜
M
, ˜
L
V (˜ s))
−1
v∈V
k
˜
L
v (˜ s)
˜
R
v
( ˜
R
v , ˜
L
v (˜ s))
−1 .
On a un diagramme commutatif
Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ
ˆ
D
→ ⊕ v∈V (Z( ˆ
M v )
ΓF v , ˆ
θ /Z( ˆ
R v )
ΓF v , ˆ
θ
⊕ Z( ˆ
R v )
ΓF v , ˆ
θ /Z( ˆ
L v )
ΓF v , ˆ
θ )
⏐
⏐
⏐
↓
Z( ˆ
M
)
ΓF /Z( ˆ
G
(˜ s))
ΓF
ˆ
D
→ ⊕ v∈V (Z( ˆ
M
v )
ΓF v /Z( ˆ
R
v )
ΓF v
⊕ Z( ˆ
R
v )
ΓF v /Z( ˆ
L
v (˜ s))
ΓF v ) .
Tous les homomorphismes sont surjectifs et de noyaux finis. Calculons l’inverse du
nombre d’éléments de l’homomorphisme composé. Si on utilise le chemin nord-est,
on trouve le membre de gauche de (12). Si on utilise le chemin sud-ouest, on trouve
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))| ker( ˆ
D
)|
−1 . L’homomorphisme ˆ
D
se décompose en
Z( ˆ
M
)
ΓF /Z( ˆ
G
(˜ s))
ΓF
→ ⊕ v∈V Z( ˆ
M
v )
ΓF v /Z( ˆ
L
v (˜ s))
ΓF v
⊕v∈V ˆ ιv
→ ⊕ v∈V (Z( ˆ
M
v )
ΓF v /Z( ˆ
R
v )
ΓF v ⊕ Z( ˆ
R
v )
ΓF v /Z( ˆ
L
v (˜ s))
ΓF v ).
De nouveau, les homomophismes sont surjectifs et de noyaux finis. Le nombre
d’éléments du noyau du premier homomorphisme est égal à k
˜
G
(˜ s)
˜
M
V
( ˜
M
, ˜
L
V (˜ s)).
Pour obtenir (12), il reste à prouver que, pour tout v ∈ V , on a
(13)
| ker(ˆ ι v )| = k
˜
L
v (˜ s)
˜
R
v
( ˜
R
v , ˜
L
v (˜ s)).
On a un diagramme commutatif
1
1
↓
↓
Z( ˆ
M
v )
ΓF v /Z( ˆ
L
v (˜ s))
ΓF v
ˆ ιv
→ (Z( ˆ
M
v )
ΓF v /Z( ˆ
R
v )
ΓF v ⊕ Z( ˆ
R
v )
ΓF v /Z( ˆ
L
v (˜ s))
ΓF v ) → 1
↓
↓
Z( ˆ
R
v )
ΓF v /Z( ˆ
L
v (˜ s))
ΓF v
ˆ
κv
→ (Z( ˆ
R
v )
ΓF v /Z( ˆ
R
v )
ΓF v ⊕ Z( ˆ
R
v )
ΓF v /Z( ˆ
L
v (˜ s))
ΓF v ) → 1
↓
↓
Z( ˆ
R
v )
ΓF v /Z( ˆ
M
v )
ΓF v
= (Z( ˆ
R
v )
ΓF v /Z( ˆ
M
v )
ΓF v ⊕ 1)
↓
↓
1
1 .