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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
L’application D est la composée des deux applications
A
˜
G
˜
M
Δ
→ A
˜
G
˜
MV
→ A ˜
MV /A ˜
LV
et
(9)
A ˜
MV /A ˜
LV → A ˜
MV /A ˜
RV ⊕ A ˜
RV /A ˜
LV .
La première est un isomorphisme d’après (7). On peut décomposer l’espace de
départ de (9) en A
˜
RV
˜
MV
⊕ A ˜
RV /A ˜
LV . Alors (9) devient une application triangulaire.
Les termes diagonaux sont les applications
A
˜
RV
˜
MV
→ A ˜
MV /A ˜
RV
et
A ˜
RV /A ˜
LV → A ˜
RV /A ˜
LV .
La première est évidemment un isomorphisme et la seconde l’est d’après (8). Donc
(9) est un isomorphisme et D aussi. Cela démontre (5). Remarquons qu’en précisant ces calculs, on obtient l’égalité
(10)
d(D) = d
˜
G
(˜ s)
˜
M
V
( ˜
M
, ˜
L
V (˜ s))
v∈V
d
˜
L
v (˜ s)
˜
R
v
( ˜
R
v , ˜
L
v (˜ s)).
Inversement, supposons que D soit un isomorphisme. Il y a au plus un espace ˆ
L V
qui peut contribuer à la somme E( ˆ
L V , ˜
s). En effet, l’égalité (8) doit être vérifiée
par cet espace, ce qui détermine
(11)
A ˜
LV = A ˜
RV ∩ A ˜
LV .
Définissons ainsi cet espace. Pour qu’il intervienne vraiment, la donnée L
V (˜ s) doit
être elliptique. Par hypothèse, les données R
V et L
(˜ s) sont elliptiques. Le membre
de droite de (11) est donc égal à
A ˜
R
V
∩ A ˜
L
V (˜ s) .
L’espace A ˜
L
V (˜ s) est inclus dans cette intersection. Il est donc inclus dans le membre
de gauche de (11), ce qui implique que L
V (˜ s) est elliptique. En inversant le calcul
fait ci-dessus, on voit que l’égalité (8) et l’hypothèse que D est un isomorphisme
impliquent (7). Puisque L
V (˜ s) est elliptique, le dernier terme de cette égalité
est égal à A
˜
G
˜
L
V (˜ s)
. Cet espace contient Δ(A
˜
G
˜
G (˜ s)
). Puisque les deux termes du
membre de droite de (7) sont en somme directe, l’espace A
˜
G
˜
G (˜ s)
est nul. Donc
la donnée G
(˜ s) est elliptique. Considérons la définition (4), où n’intervient plus
que notre Levi ˜
L
V (˜ s). Une constante telle que e
˜
G
(˜ s)
˜
M
V
( ˜
M
, ˜
L
V (˜ s)) est le produit de