VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10
723
On note
D : A
˜
G
˜
M
→ A ˜
MV /A ˜
RV ⊕ A ˜
RV /A ˜
LV
leur somme directe. On obtient dualement un homomorphisme
ˆ
D : Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ
→ ⊕ v∈V
Z( ˆ
M v )
ΓF v , ˆ
θ /Z( ˆ
R v )
ΓF v , ˆ
θ
⊕ Z( ˆ
R v )
ΓF v , ˆ
θ /Z( ˆ
L v )
ΓF v , ˆ
θ
.
Supposons que D soit un isomorphisme. Alors ˆ
D est surjectif et de noyau fini. On
note k(D) le nombre d’éléments de ce noyau. On note d(D) le nombre tel que D
identifie la mesure sur son ensemble de départ avec d(Δ) fois celle sur son ensemble
d’arrivée. On pose e(D) = d(D)k(D)
−1 . Pour v ∈ V , l’homomorphisme
Z( ˆ
M v )
ΓF v , ˆ
θ /Z( ˆ
R v )
ΓF v , ˆ
θ
→ Z( ˆ
M
v )
ΓF v /Z( ˆ
R
v )
ΓF v
est surjectif et de noyau fini (car les données M
v et R
v sont elliptiques par définition). On note i ˜
M
v
( ˆ
R v , ˜
R
v ) l’inverse du nombre d’éléments de son noyau. De
même, soit ˜
s ∈ ˜
ζZ( ˆ
R V )/Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ tel que L
(˜ s) soit elliptique. Alors l’homomorphisme
Z( ˆ
R v )
ΓF v , ˆ
θ /Z( ˆ
L v )
ΓF v , ˆ
θ
→ Z( ˆ
R
v )
ΓF v /Z( ˆ
L
v (˜ s))
ΓF v
est surjectif et de noyau fini. On note i ˜
R
v
( ˆ
L v , ˜
L
v (˜ s)) l’inverse du nombre d’éléments
de son noyau. Soit ˜
s comme ci-dessus. On va montrer
(5) si D n’est pas un isomorphisme, E( ˆ
L V , ˜
s) = 0 ;
(6) supposons que D soit un isomorphisme ; alors
E( ˆ
L V , ˜
s) = e(D)
v∈V
i ˜
M
v
( ˆ
R v , ˜
R
v )i ˜
R
v
( ˆ
L v , ˜
L
v (˜ s)).
Supposons E( ˆ
L V , ˜
s) = 0. Alors i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s)) = 0 donc G
(˜ s) est elliptique.
On peut fixer ˆ
L V ∈ L( ˆ
R V ) ∩ L( ˆ
L V ) de sorte que L
V (˜ s) soit elliptique et que les
constantes d
˜
G
(˜ s)
˜
M
V
( ˜
M
, ˜
L
V (˜ s)) et d
˜
L
v (˜ s)
˜
R
v
( ˜
R
v , ˜
L
v (˜ s)), pour v ∈ V , soient non nulles.
Notons par exemple A
˜
Lv
˜
Rv
l’orthogonal de A ˜
Lv dans A ˜
Rv et A
˜
LV
˜
RV
= ⊕ v∈V A
˜
Lv
˜
Rv
.
Toutes les données endoscopiques intervenant étant elliptiques (M
v étant considérée comme une donnée de ˆ
M v ), ces non-nullités signifient que l’on a les égalités
(7)
A
˜
G
˜
MV
= Δ(A
˜
G
˜
M
) ⊕ A
˜
G
˜
LV
et
(8)
A
˜
LV
˜
RV
= A
˜
LV
˜
RV
⊕ A
˜
LV
˜
LV
,
723
On note
D : A
˜
G
˜
M
→ A ˜
MV /A ˜
RV ⊕ A ˜
RV /A ˜
LV
leur somme directe. On obtient dualement un homomorphisme
ˆ
D : Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ
→ ⊕ v∈V
Z( ˆ
M v )
ΓF v , ˆ
θ /Z( ˆ
R v )
ΓF v , ˆ
θ
⊕ Z( ˆ
R v )
ΓF v , ˆ
θ /Z( ˆ
L v )
ΓF v , ˆ
θ
.
Supposons que D soit un isomorphisme. Alors ˆ
D est surjectif et de noyau fini. On
note k(D) le nombre d’éléments de ce noyau. On note d(D) le nombre tel que D
identifie la mesure sur son ensemble de départ avec d(Δ) fois celle sur son ensemble
d’arrivée. On pose e(D) = d(D)k(D)
−1 . Pour v ∈ V , l’homomorphisme
Z( ˆ
M v )
ΓF v , ˆ
θ /Z( ˆ
R v )
ΓF v , ˆ
θ
→ Z( ˆ
M
v )
ΓF v /Z( ˆ
R
v )
ΓF v
est surjectif et de noyau fini (car les données M
v et R
v sont elliptiques par définition). On note i ˜
M
v
( ˆ
R v , ˜
R
v ) l’inverse du nombre d’éléments de son noyau. De
même, soit ˜
s ∈ ˜
ζZ( ˆ
R V )/Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ tel que L
(˜ s) soit elliptique. Alors l’homomorphisme
Z( ˆ
R v )
ΓF v , ˆ
θ /Z( ˆ
L v )
ΓF v , ˆ
θ
→ Z( ˆ
R
v )
ΓF v /Z( ˆ
L
v (˜ s))
ΓF v
est surjectif et de noyau fini. On note i ˜
R
v
( ˆ
L v , ˜
L
v (˜ s)) l’inverse du nombre d’éléments
de son noyau. Soit ˜
s comme ci-dessus. On va montrer
(5) si D n’est pas un isomorphisme, E( ˆ
L V , ˜
s) = 0 ;
(6) supposons que D soit un isomorphisme ; alors
E( ˆ
L V , ˜
s) = e(D)
v∈V
i ˜
M
v
( ˆ
R v , ˜
R
v )i ˜
R
v
( ˆ
L v , ˜
L
v (˜ s)).
Supposons E( ˆ
L V , ˜
s) = 0. Alors i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s)) = 0 donc G
(˜ s) est elliptique.
On peut fixer ˆ
L V ∈ L( ˆ
R V ) ∩ L( ˆ
L V ) de sorte que L
V (˜ s) soit elliptique et que les
constantes d
˜
G
(˜ s)
˜
M
V
( ˜
M
, ˜
L
V (˜ s)) et d
˜
L
v (˜ s)
˜
R
v
( ˜
R
v , ˜
L
v (˜ s)), pour v ∈ V , soient non nulles.
Notons par exemple A
˜
Lv
˜
Rv
l’orthogonal de A ˜
Lv dans A ˜
Rv et A
˜
LV
˜
RV
= ⊕ v∈V A
˜
Lv
˜
Rv
.
Toutes les données endoscopiques intervenant étant elliptiques (M
v étant considérée comme une donnée de ˆ
M v ), ces non-nullités signifient que l’on a les égalités
(7)
A
˜
G
˜
MV
= Δ(A
˜
G
˜
M
) ⊕ A
˜
G
˜
LV
et
(8)
A
˜
LV
˜
RV
= A
˜
LV
˜
RV
⊕ A
˜
LV
˜
LV
,