722
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
obtient
S
˜
L
1,v (˜ s)
˜
R
1,v (˜ s),λ1,v (˜ s)
(δ 1,v (˜ s), B
˜
G , (f
˜
G
1,v (˜ s)
v
) ˜
L
1,v (˜ s) ) =
˜
L
v (˜ s)∈L
˜
L
v (˜ s) ( ˜
R
v )
e
˜
L
v (˜ s)
˜
R
v
( ˜
R
v , ˜
L
v (˜ s))
S
˜
L
1,v (˜ s)
˜
R
1,v (˜ s),λ1,v (˜ s)
(d v (˜ s), B
˜
G , (f
˜
G
1,v (˜ s)
v
) ˜
L
1,v (˜ s) ).
Pour tout ˆ
L V ∈ L( ˆ
R V ), posons
(3)
J( ˆ
R V , ˆ
L V , δ, f) =
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
RV )/Z( ˆ
G) Γ F , ˆ
θ ,L
V (˜ s) elliptique
E( ˆ
L V , ˜
s)
v∈V
S
˜
L
1,v (˜ s)
˜
R
1,v (˜ s),λ1,v (˜ s)
(d v (˜ s), B
˜
G , (f
˜
G
1,v (˜ s)
v
) ˜
L
1,v (˜ s) ),
où
(4)
E( ˆ
L V , ˜
s) = i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))
˜
L
V (˜ s)∈L
˜
G (˜ s) ( ˜
R
V (˜ s))
∩L
˜
G (˜ s) ( ˜
L
V (˜ s))
e
˜
G
(˜ s)
˜
M
V
( ˜
M
, ˜
L
V (˜ s))
v∈V
e
˜
L
v (˜ s)
˜
R
v
( ˜
R
v , ˜
L
v (˜ s)).
Alors la formule (1) se récrit
J( ˆ
R V , δ, f) =
ˆ
LV ∈L( ˆ
RV )
J( ˆ
R V , ˆ
L V , δ, f).
Pour prouver que le membre de gauche est nul, il nous suffit de fixer ˆ
L V et de
prouver que J( ˆ
R V , ˆ
L V , δ, f) = 0.
Fixons désormais ˆ
L V ∈ L( ˆ
R V ). Pour v ∈ V , aux Levi ˆ
M v , ˆ
R v , ˆ
R v et
ˆ
L v sont associés des espaces A ˜
Mv , A ˜
Rv , A ˜
Rv et A ˜
Lv . Par exemple, A ˜
Mv =
X
∗ (Z( ˆ
M v )
ΓF v , ˆ
θ,0 ) ⊗ Z R. On a
A ˜
Rv
A ˜
Mv
⊂ A ˜
Mv
A ˜
Lv
⎫
⎬
⎭
⊂ A ˜
Rv .
Posons par exemple A ˜
MV = ⊕ v∈V A ˜
Mv . Rappelons que l’on a un plongement
diagonal Δ : A
˜
G
˜
M
→ A ˜
MV . Par composition, on obtient des homomorphismes
A
˜
G
˜
M
→ A ˜
MV /A ˜
RV
et
A
˜
G
˜
M
→ A ˜
MV → A ˜
RV → A ˜
RV /A ˜
LV .