VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10
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Le Levi ˆ
R v vérifie la condition 6.7(1). On pose ˆ
R V = ( ˆ
R v ) v∈V . On définit
comme en 6.7 l’ensemble L( ˆ
R V ) des familles ˆ
L V = ( ˆ
L v ) v∈V telles que, pour tout
v ∈ V , ˆ
L v soit un Levi de ˆ
G vérifiant 6.7(1) et contenant ˆ
R v . Considérons une
telle famille. Pour ˜
s ∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ et pour une place v ∈ V , on définit
la donnée endoscopique L
v (˜ s) de ˆ
L v associée à ˜
s et à la donnée endoscopique R
v
du Levi ˆ
R v de ˆ
L v . En posant
Z( ˆ
L V ) = Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ
∩ (∩ v∈V Z( ˆ
L v )),
cette donnée ne dépend que de l’image de ˜
s modulo Z( ˆ
L V ). Considérons deux éléments ˜
s 1 et ˜
s 2 de ˜
ζZ( ˆ
R V )/Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ ayant même image modulo ce groupe. On a
choisi ci-dessus des données auxiliaires pour les données G
(˜ s 1 ) et G
(˜ s 2 ) qui se restreignent pour toute place v ∈ V en des données auxiliaires pour L
v (˜ s 1 ) = L
v (˜ s 2 ).
On dispose donc d’espaces SI λ1,v (˜ s1) ( ˜
L
1,v (˜ s 1 ; F v )) et SI λ1,v (˜ s2) ( ˜
L
1,v (˜ s 2 ; F v )). Ces
espaces sont canoniquement isomorphes. En effet, on sait que ces espaces sont isomorphes, l’isomorphisme n’étant en général défini qu’à un scalaire près. Il s’agit
de normaliser celui-ci. On a déjà fixé les isomorphismes
SI λ1,v (˜ s1) ( ˜
R
1,v (˜ s 1 ; F v )) SI λ1,v ( ˜
R
1,v (F v )) SI λ1,v (˜ s2) ( ˜
R
1,v (˜ s 2 ; F v )).
On normalise nos isomorphismes de sorte que le diagramme suivant soit commutatif
SI λ1,v (˜ s1) ( ˜
R
1,v (˜ s 1 ; F v )) → SI λ1,v (˜ s2) ( ˜
R
1,v (˜ s 2 ; F v ))
↓
↓
SI λ1,v (˜ s1) ( ˜
R
1,v (˜ s 1 ; F v )) → SI λ1,v (˜ s2) ( ˜
R
1,v (˜ s 1 ; F v ))
↑
↑
SI λ1,v (˜ s1) ( ˜
L
1,v (˜ s 1 ; F v )) → SI λ1,v (˜ s2) ( ˜
L
1,v (˜ s 2 ; F v ))
où les applications verticales sont les applications «termes constants». De mêmes
considérations valent pour les espaces de distributions.
Posons ˜
R
V =
v∈V
˜
R
v . Soit ˜
ζZ( ˆ
R V )/Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ , supposons G
(˜ s) elliptique.
Notons L
˜
G
(˜ s) ( ˜
R
V ) l’ensemble des familles ˜
L
V = ( ˜
L
v ) v∈V telles que, pour tout
v ∈ V , ˜
L
v soit un espace de Levi de ˜
G
(˜ s) défini sur F v et contenant ˜
R
v . Pour
une telle famille et pour v ∈ V , notons ˆ
L v le commutant de Z( ˆ
L
v )
ΓF v ,0 dans
ˆ
G. Alors la famille ˆ
L V = ( ˆ
L v ) v∈V appartient à L( ˆ
R V ). La famille ˜
L
V apparaît
comme la famille d’espaces de Levi associée à la donnée endoscopique elliptique
L
(˜ s) de ( ˆ
L V , a ˆ
LV ). Comme en 6.7, on notera directement ˜
L
V (˜ s) les éléments de
L
˜
G
(˜ s) ( ˜
R
V ).
Considérons la formule (1). Fixons ˜
s, ˜
L
V (˜ s) y apparaissant et une place
v ∈ V . Par les isomorphismes canoniques, la distribution d v introduite ci-dessus
s’identifie à d v (˜ s) ∈ D
st
g´ eom,λ1(˜ s) ( ˜
R
1,v (˜ s; F v )). La distribution δ 1,v (˜ s) est l’induite
de d v (˜ s) à ˜
R
1,v (˜ s; F v ). On applique les propositions [II] 1.14(ii) ou [V] 1.6(ii). On