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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
J( ˆ
R V , δ, f) se récrit
(1)
J( ˆ
R V , δ, f) =
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
RV )/Z( ˆ
G)
Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))
˜
L
V (˜ s)∈L
˜
G (˜ s) ( ˜
R
V (˜ s))
e
˜
G
(˜ s)
˜
M
V
( ˜
M
, ˜
L
V (˜ s))
v∈V
S
˜
L
1,v (˜ s)
˜
R
1,v (˜ s),λ1,v (˜ s)
(δ 1,v (˜ s), B
˜
G , (f
˜
G
1,v (˜ s)
v
) ˜
L
1,v (˜ s) ).
On peut supposer que, pour tout v ∈ V , il y a une classe de conjugaison
stable semi-simple O
v ⊂ ˜
M
(F v ) de sorte que
– δ 1,v est induite d’un élément de D
st
orb,λ1,v ( ˜
M
1,v (F v )) dont le support est formé
d’éléments de partie semi-simple dans O
v ;
– si v est archimédienne, O
v est formé d’éléments ˜
G-réguliers.
Fixons v ∈ O
v tel que M
v soit quasi-déployé sur F v . On note ˜
R
v le commutant de A M
v
dans ˜
M
. On a A ˜
R
v
= A M
v
. On peut fixer une distribution
d v ∈ D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
R
1,v (F v )) de sorte que
– δ 1,v soit l’induite de d v à ˜
R
1,v (F v ) ;
– si v est non-archimédienne, les projections dans ˜
R
v (F v ) des éléments du support de d v ont leur partie semi-simple dans la classe de conjugaison stable
O ˜
R
v
de v dans ˜
R
v (F v ) ;
– si v est archimédienne, d v est une intégrale orbitale stable associée à un
relèvement de v dans ˜
R
1,v (F v ).
On a
(2) v appartient à un sous-tore tordu maximal elliptique de ˜
R
v .
En effet, soit T
v un sous-tore maximal elliptique de M
v et T v son commutant
dans R
v . Alors l’ensemble T v v répond à la question. Pour que cette construction
soit correcte, il faut évidemment que M
v possède un sous-tore maximal elliptique.
C’est toujours vrai si v est non-archimédienne. Si v est archimédienne, v est ˜
Grégulier par hypothèse donc M
v est lui-même un tore et l’assertion s’ensuit.
On note ˆ
R v le commutant de Z( ˆ
R
v )
ΓF v ,0 dans ˆ
G. C’est un Levi de ˆ
M v . Quitte
à remplacer la donnée locale M
v par une donnée équivalente, on peut supposer
que tous ces Levi sont standard et que la donnée locale M
v provient d’une donnée
R
v pour ˆ
R v , cf. [I] 3.4. C’est-à-dire qu’en posant R
v = M
v ∩
L R v , le triplet
R
v = (R
v , R
v , ˜
ζ) est une donnée endoscopique de ˆ
R v et que M
v = ˆ
M
R
v . Notons
que R
v est une donnée elliptique par construction.
Remarque. On pourrait poser des définitions plus sophistiquées évitant de remplacer M
v par une donnée équivalente. En tout cas, ce remplacement ne perturbera
pas la suite de la démonstration.
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
J( ˆ
R V , δ, f) se récrit
(1)
J( ˆ
R V , δ, f) =
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
RV )/Z( ˆ
G)
Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))
˜
L
V (˜ s)∈L
˜
G (˜ s) ( ˜
R
V (˜ s))
e
˜
G
(˜ s)
˜
M
V
( ˜
M
, ˜
L
V (˜ s))
v∈V
S
˜
L
1,v (˜ s)
˜
R
1,v (˜ s),λ1,v (˜ s)
(δ 1,v (˜ s), B
˜
G , (f
˜
G
1,v (˜ s)
v
) ˜
L
1,v (˜ s) ).
On peut supposer que, pour tout v ∈ V , il y a une classe de conjugaison
stable semi-simple O
v ⊂ ˜
M
(F v ) de sorte que
– δ 1,v est induite d’un élément de D
st
orb,λ1,v ( ˜
M
1,v (F v )) dont le support est formé
d’éléments de partie semi-simple dans O
v ;
– si v est archimédienne, O
v est formé d’éléments ˜
G-réguliers.
Fixons v ∈ O
v tel que M
v soit quasi-déployé sur F v . On note ˜
R
v le commutant de A M
v
dans ˜
M
. On a A ˜
R
v
= A M
v
. On peut fixer une distribution
d v ∈ D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
R
1,v (F v )) de sorte que
– δ 1,v soit l’induite de d v à ˜
R
1,v (F v ) ;
– si v est non-archimédienne, les projections dans ˜
R
v (F v ) des éléments du support de d v ont leur partie semi-simple dans la classe de conjugaison stable
O ˜
R
v
de v dans ˜
R
v (F v ) ;
– si v est archimédienne, d v est une intégrale orbitale stable associée à un
relèvement de v dans ˜
R
1,v (F v ).
On a
(2) v appartient à un sous-tore tordu maximal elliptique de ˜
R
v .
En effet, soit T
v un sous-tore maximal elliptique de M
v et T v son commutant
dans R
v . Alors l’ensemble T v v répond à la question. Pour que cette construction
soit correcte, il faut évidemment que M
v possède un sous-tore maximal elliptique.
C’est toujours vrai si v est non-archimédienne. Si v est archimédienne, v est ˜
Grégulier par hypothèse donc M
v est lui-même un tore et l’assertion s’ensuit.
On note ˆ
R v le commutant de Z( ˆ
R
v )
ΓF v ,0 dans ˆ
G. C’est un Levi de ˆ
M v . Quitte
à remplacer la donnée locale M
v par une donnée équivalente, on peut supposer
que tous ces Levi sont standard et que la donnée locale M
v provient d’une donnée
R
v pour ˆ
R v , cf. [I] 3.4. C’est-à-dire qu’en posant R
v = M
v ∩
L R v , le triplet
R
v = (R
v , R
v , ˜
ζ) est une donnée endoscopique de ˆ
R v et que M
v = ˆ
M
R
v . Notons
que R
v est une donnée elliptique par construction.
Remarque. On pourrait poser des définitions plus sophistiquées évitant de remplacer M
v par une donnée équivalente. En tout cas, ce remplacement ne perturbera
pas la suite de la démonstration.