VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10
719
où
J( ˆ
R V , ˜
t, τ
R
V ( ˜
t) (n), f) =
˜
s∈ ˜
tZ( ˆ
RV )/Z( ˆ
G) Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))
˜
L
V (˜ s)∈L
˜
G (˜ s) ( ˜
R
V (˜ s))
e
˜
G
(˜ s)
˜
M
V
( ˜
M
, ˜
L
V (˜ s))S
L
V (˜ s)
R
V (˜ s) (τ
R
V (˜ s) (n), B
˜
G , (f
G
(˜ s) ) L
V (˜ s) ).
Dans le cas où ˜
t = ˜
ζ, cette expression est égale à l’expression J( ˆ
R V , τ
R
V ( ˜
t) (n), f)
de 6.7. Pour ˜
t quelconque, elle est égale à l’analogue de cette expression quand
on remplace la donnée de départ M
= (M
, M
, ˜
ζ) par la donnée équivalente
(M
, M
, ˜
t). On peut donc lui appliquer cette proposition 6.7. Les distributions
τ
R
V ( ˜
t) (n) vérifient par construction les hypothèses de cette proposition : en une
place archimédienne v, la translation par exp(H 1,v, ˜
R
1,v (˜ s) /n) assure que le support de la distribution est ˜
G-équisingulier puisque H v est en position générale.
La proposition 6.7 implique donc que J( ˆ
R V , ˜
t, τ
R
V ( ˜
t) (n), f) = 0. Alors l’expression (6) est nulle. Sa limite I
K ˜
G,E
∗
(M
, δ, f) est nulle elle aussi, ce qui prouve la
proposition 6.6.
VI.6.10 Preuve de la proposition 6.8
On fixe des données ˆ
R V , δ et f comme dans l’énoncé de la proposition 6.8. On
suppose f = ⊗ v∈V f v . On a besoin de facteurs de transfert globaux. Pour cela, on
fixe les extensions
1 → G → H → D → 1, ˜
G → ˜
H
construites dans la preuve de 3.8. Pour tout ˜
s ∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ , on étend
comme dans ce paragraphe la donnée G
(˜ s) en une donnée H
( ˜
t) et on fixe des données auxiliaires H
1 ( ˜
t),. . ., ˆ
ξ 1 ( ˜
t). On en déduit comme en 3.9 des données auxiliaires
G
1 (˜ s),. . ., ˆ
ξ 1 (˜ s) pour G
(˜ s), que l’on complète par le choix d’espaces hyperspéciaux ( ˜
K
1,v (˜ s)) v ∈V . Il s’en déduit un facteur de transfert canonique comme en
3.9, que l’on décompose en produit sur v ∈ V de facteurs locaux. On note f
˜
G
1 (˜ s)
v
le transfert de f v calculé à l’aide de ce facteur. Comme en 6.9, on considère les
données auxiliaires relatives à ˜
ζ comme des données de référence et, pour celles-ci,
on supprime ˜
ζ de la notation : G
= G
( ˜
ζ), G
1 = G
1 ( ˜
ζ) etc. . . On peut supposer que δ s’identifie à ⊗ v∈V δ 1,v , avec δ 1,v ∈ D
st
g´ eom,λ1,v ( ˜
R
1,v (F v )) pour tout
v ∈ V . Comme on l’a vu en 6.7, on dispose pour tout ˜
s ∈ ˜
ζZ( ˆ
R V )/Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ de
recollements canoniques entre SI λ1 ( ˜
M
1 (F V )) et SI λ1(˜ s) ( ˜
M
1 (˜ s; F V )) et aussi entre
SI λ1 ( ˜
R
1,V (F V )) et SI λ1(˜ s) ( ˜
R
1,V (˜ s; F V )). On décompose ceux-ci en produit tensoriel d’isomorphismes locaux. On fait de même pour les espaces de distributions.
Alors chaque δ 1,v s’identifie à δ 1,v (˜ s) ∈ D
st
g´ eom,λ1,v (˜ s) ( ˜
R
1,v (˜ s; F v )). La définition de
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où
J( ˆ
R V , ˜
t, τ
R
V ( ˜
t) (n), f) =
˜
s∈ ˜
tZ( ˆ
RV )/Z( ˆ
G) Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))
˜
L
V (˜ s)∈L
˜
G (˜ s) ( ˜
R
V (˜ s))
e
˜
G
(˜ s)
˜
M
V
( ˜
M
, ˜
L
V (˜ s))S
L
V (˜ s)
R
V (˜ s) (τ
R
V (˜ s) (n), B
˜
G , (f
G
(˜ s) ) L
V (˜ s) ).
Dans le cas où ˜
t = ˜
ζ, cette expression est égale à l’expression J( ˆ
R V , τ
R
V ( ˜
t) (n), f)
de 6.7. Pour ˜
t quelconque, elle est égale à l’analogue de cette expression quand
on remplace la donnée de départ M
= (M
, M
, ˜
ζ) par la donnée équivalente
(M
, M
, ˜
t). On peut donc lui appliquer cette proposition 6.7. Les distributions
τ
R
V ( ˜
t) (n) vérifient par construction les hypothèses de cette proposition : en une
place archimédienne v, la translation par exp(H 1,v, ˜
R
1,v (˜ s) /n) assure que le support de la distribution est ˜
G-équisingulier puisque H v est en position générale.
La proposition 6.7 implique donc que J( ˆ
R V , ˜
t, τ
R
V ( ˜
t) (n), f) = 0. Alors l’expression (6) est nulle. Sa limite I
K ˜
G,E
∗
(M
, δ, f) est nulle elle aussi, ce qui prouve la
proposition 6.6.
VI.6.10 Preuve de la proposition 6.8
On fixe des données ˆ
R V , δ et f comme dans l’énoncé de la proposition 6.8. On
suppose f = ⊗ v∈V f v . On a besoin de facteurs de transfert globaux. Pour cela, on
fixe les extensions
1 → G → H → D → 1, ˜
G → ˜
H
construites dans la preuve de 3.8. Pour tout ˜
s ∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ , on étend
comme dans ce paragraphe la donnée G
(˜ s) en une donnée H
( ˜
t) et on fixe des données auxiliaires H
1 ( ˜
t),. . ., ˆ
ξ 1 ( ˜
t). On en déduit comme en 3.9 des données auxiliaires
G
1 (˜ s),. . ., ˆ
ξ 1 (˜ s) pour G
(˜ s), que l’on complète par le choix d’espaces hyperspéciaux ( ˜
K
1,v (˜ s)) v ∈V . Il s’en déduit un facteur de transfert canonique comme en
3.9, que l’on décompose en produit sur v ∈ V de facteurs locaux. On note f
˜
G
1 (˜ s)
v
le transfert de f v calculé à l’aide de ce facteur. Comme en 6.9, on considère les
données auxiliaires relatives à ˜
ζ comme des données de référence et, pour celles-ci,
on supprime ˜
ζ de la notation : G
= G
( ˜
ζ), G
1 = G
1 ( ˜
ζ) etc. . . On peut supposer que δ s’identifie à ⊗ v∈V δ 1,v , avec δ 1,v ∈ D
st
g´ eom,λ1,v ( ˜
R
1,v (F v )) pour tout
v ∈ V . Comme on l’a vu en 6.7, on dispose pour tout ˜
s ∈ ˜
ζZ( ˆ
R V )/Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ de
recollements canoniques entre SI λ1 ( ˜
M
1 (F V )) et SI λ1(˜ s) ( ˜
M
1 (˜ s; F V )) et aussi entre
SI λ1 ( ˜
R
1,V (F V )) et SI λ1(˜ s) ( ˜
R
1,V (˜ s; F V )). On décompose ceux-ci en produit tensoriel d’isomorphismes locaux. On fait de même pour les espaces de distributions.
Alors chaque δ 1,v s’identifie à δ 1,v (˜ s) ∈ D
st
g´ eom,λ1,v (˜ s) ( ˜
R
1,v (˜ s; F v )). La définition de