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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
Les distributions τ
˜
R
1,v (˜ s)
1,v
(n) dépendent des données auxiliaires mais on vérifie sans
peine qu’elles se recollent convenablement quand on change de données auxiliaires.
On doit toutefois prendre garde au fait que la translation par exp(H 1,v, ˜
R
1,v (˜ s) )
pour v archimédienne n’est compatible au recollement qu’à un caractère près.
Plus précisément, pour une telle place, on a introduit en [IV] 2.1 un caractère
λ A ˜
G
1,v
(˜ s)
de A ˜
G
1 (˜ s) . Alors les distributions
v∈Val∞(F )
λ A ˜
G
1,v (˜ s)
(H 1,v, ˜
G
1,v (˜ s) /n)
⊗ v∈V τ
˜
R
1,v (˜ s)
1,v
(n)
se recollent en une distribution que l’on note τ
R
V (˜ s) (n). Cette multiplication par
le produit des λ A ˜
G
1,v (˜ s)
(H 1,v, ˜
G
1,v (˜ s) /n) ne nous gêne pas : on peut multiplier (5)
par ce terme sans changer les propriétés de cette expression.
Alors (5) se récrit
˜
R
V (˜ s)∈L
˜
G (˜ s)
∞
( ˜
M
V )
˜
L
V (˜ s)∈L
˜
G (˜ s) ( ˜
R
V (˜ s))
e
˜
G
(˜ s)
˜
M
V
( ˜
M
, ˜
L
V (˜ s))
S
L
V (˜ s)
R
V (˜ s) (τ
R
V (˜ s) (n), B
˜
G , (f
G
(˜ s) ) L
V (˜ s) ).
En revenant à 6.6(2), on voit que I
K ˜
G,E
∗
(M
, δ, f) est égale à la limite quand n
tend vers l’infini de
(6)
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))
˜
R
V (˜ s)∈L
˜
G (˜ s)
∞
( ˜
M
V )
˜
L
V (˜ s)∈L
˜
G (˜ s) ( ˜
R
V (˜ s))
e
˜
G
(˜ s)
˜
M
V
( ˜
M
, ˜
L
V (˜ s))
S
L
V (˜ s)
R
V (˜ s) (τ
R
V (˜ s) (n), B
˜
G , (f
G
(˜ s) ) L
V (˜ s) ).
A tout R
V (˜ s) intervenant est associé un élément ˆ
R V ∈ L( ˆ
M V ). Plus précisément,
celui-ci appartient au sous-ensemble L ∞ ( ˆ
M V ) défini par les conditions ˆ
R v = ˆ
M v
pour v ∈ V non-archimédienne. On peut remplacer la somme en R
V (˜ s) par une
somme en ˆ
R V , que l’on permute avec la somme en ˜
s. On peut ensuite décomposer
cette dernière somme en une somme sur ˜
t ∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
R V ) et une somme en
˜
s ∈ ˜
tZ( ˆ
R V )/Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ . L’expression (6) devient la somme sur ˆ
R V ∈ L ∞ ( ˆ
M V ) de
˜
t∈ ˜
ζZ( ˆ
M ) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
RV );R
V ( ˜
t) elliptique
J( ˆ
R V , ˜
t, τ
R
V ( ˜
t) (n), f),
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
Les distributions τ
˜
R
1,v (˜ s)
1,v
(n) dépendent des données auxiliaires mais on vérifie sans
peine qu’elles se recollent convenablement quand on change de données auxiliaires.
On doit toutefois prendre garde au fait que la translation par exp(H 1,v, ˜
R
1,v (˜ s) )
pour v archimédienne n’est compatible au recollement qu’à un caractère près.
Plus précisément, pour une telle place, on a introduit en [IV] 2.1 un caractère
λ A ˜
G
1,v
(˜ s)
de A ˜
G
1 (˜ s) . Alors les distributions
v∈Val∞(F )
λ A ˜
G
1,v (˜ s)
(H 1,v, ˜
G
1,v (˜ s) /n)
⊗ v∈V τ
˜
R
1,v (˜ s)
1,v
(n)
se recollent en une distribution que l’on note τ
R
V (˜ s) (n). Cette multiplication par
le produit des λ A ˜
G
1,v (˜ s)
(H 1,v, ˜
G
1,v (˜ s) /n) ne nous gêne pas : on peut multiplier (5)
par ce terme sans changer les propriétés de cette expression.
Alors (5) se récrit
˜
R
V (˜ s)∈L
˜
G (˜ s)
∞
( ˜
M
V )
˜
L
V (˜ s)∈L
˜
G (˜ s) ( ˜
R
V (˜ s))
e
˜
G
(˜ s)
˜
M
V
( ˜
M
, ˜
L
V (˜ s))
S
L
V (˜ s)
R
V (˜ s) (τ
R
V (˜ s) (n), B
˜
G , (f
G
(˜ s) ) L
V (˜ s) ).
En revenant à 6.6(2), on voit que I
K ˜
G,E
∗
(M
, δ, f) est égale à la limite quand n
tend vers l’infini de
(6)
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))
˜
R
V (˜ s)∈L
˜
G (˜ s)
∞
( ˜
M
V )
˜
L
V (˜ s)∈L
˜
G (˜ s) ( ˜
R
V (˜ s))
e
˜
G
(˜ s)
˜
M
V
( ˜
M
, ˜
L
V (˜ s))
S
L
V (˜ s)
R
V (˜ s) (τ
R
V (˜ s) (n), B
˜
G , (f
G
(˜ s) ) L
V (˜ s) ).
A tout R
V (˜ s) intervenant est associé un élément ˆ
R V ∈ L( ˆ
M V ). Plus précisément,
celui-ci appartient au sous-ensemble L ∞ ( ˆ
M V ) défini par les conditions ˆ
R v = ˆ
M v
pour v ∈ V non-archimédienne. On peut remplacer la somme en R
V (˜ s) par une
somme en ˆ
R V , que l’on permute avec la somme en ˜
s. On peut ensuite décomposer
cette dernière somme en une somme sur ˜
t ∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
R V ) et une somme en
˜
s ∈ ˜
tZ( ˆ
R V )/Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ . L’expression (6) devient la somme sur ˆ
R V ∈ L ∞ ( ˆ
M V ) de
˜
t∈ ˜
ζZ( ˆ
M ) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
RV );R
V ( ˜
t) elliptique
J( ˆ
R V , ˜
t, τ
R
V ( ˜
t) (n), f),