VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10
717
Fixons des données auxiliaires comme plus haut. Les intégrales du membre de
droite se décomposent alors en produit sur v ∈ V d’intégrales locales. Considérons
une place v archimédienne. Le terme local est
(4)
S
˜
L
1,v (˜ s)
˜
M
1,v (˜ s),λ1,v (˜ s)
(δ 1,v (˜ s), B
˜
G , (f
˜
G
1,v (˜ s)
v
) ˜
L
1,v (˜ s) ).
On peut supposer comme plus haut que les éléments du support de δ 1,v ont leur
partie semi-simple dans une classe de conjugaison stable O
v . Fixons H v ∈ A ˜
M
v
en
position générale. Relevons-le en un élément H 1,v ∈ A ˜
M
1,v (˜ s) . Considérons un Levi
de ˜
L
v (˜ s) contenant ˜
M
v . Conformément aux notations introduites en 6.7, notons-le
˜
R
v (˜ s). Les définitions de [V] 6.3 s’étendent au cas des distributions se transformant
selon le caractère λ 1,v (˜ s) de C 1 (˜ s; F v ). On a défini dans cette référence un élément
ξ
˜
R
1,v (˜ s),st (δ 1,v (˜ s), B
˜
G , H
˜
R
1,v (˜ s)
1,v
).
C’est une distribution induite à ˜
R
1,v (˜ s; F v ) d’un élément de D
st
g´ eom ( ˜
M
1,v (˜ s; F v ))
dont le support est formé d’éléments de partie semi-simple dans O
v . La proposition
[V] 6.3 entraîne que le (3) est faiblement équivalent à la fonction qui, à H 1,v associe
˜
R
v (˜ s)∈L
˜
L
v (˜ s) ( ˜
M
v )
S
˜
L
1,v (˜ s)
˜
R
1,v (˜ s),λ1,v (˜ s)
exp(H 1,v, ˜
R
1,v (˜ s) )ξ
˜
R
1,v (˜ s),st (δ 1,v (˜ s), B
˜
G , H
˜
R
1,v (˜ s)
1,v
), (f
˜
G
1,v (˜ s)
v
) ˜
L
1,v (˜ s)
.
Cela implique que, si l’on remplace dans l’expression ci-dessus H 1,v par H 1,v /n,
pour un entier n ≥ 1, la limite de cette expression quand n tend vers l’infini est
égale à (4). Posons
τ
˜
R
1,v (˜ s)
1,v
(n) = exp(H 1,v, ˜
R
1,v (˜ s) /n)ξ
˜
R
1,v (˜ s),st (δ 1,v (˜ s), B
˜
G , H
˜
R
1,v (˜ s)
1,v
/n).
Pour unifier les notations, pour une place v ∈ V non-archimédienne, posons
τ
˜
M
1,v (˜ s)
1,v
(n) = δ 1,v (˜ s).
Enfin, on a défini en 6.7 l’ensemble L
˜
G
(˜ s) ( ˜
M
V ). Notons L
˜
G
(˜ s)
∞
( ˜
M
V ) le sousensemble des ˜
R
V (˜ s) ∈ L
˜
G
(˜ s) ( ˜
M
V ) tels que ˜
R
v (˜ s) = ˜
M
v pour toute place nonarchimédienne. Avec ces définitions, on obtient que S
G
(˜ s)
M (δ, B
˜
G , f
G
(˜ s) ) est égale
à la limite quand n tend vers l’infini de
(5)
˜
R
V (˜ s)∈L
˜
G (˜ s)
∞
( ˜
M
V )
˜
L
V (˜ s)∈L
˜
G (˜ s) ( ˜
R
V (˜ s))
e
˜
G
(˜ s)
˜
M
V
( ˜
M
, ˜
L
V (˜ s))
v∈V
S
˜
L
1,v (˜ s)
˜
R
1,v (˜ s),λ1,v (˜ s)
τ
˜
M
1,v (˜ s)
1,v
(n), B
˜
G , (f
˜
G
1,v (˜ s)
v
) ˜
L
1,v (˜ s)
.
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Fixons des données auxiliaires comme plus haut. Les intégrales du membre de
droite se décomposent alors en produit sur v ∈ V d’intégrales locales. Considérons
une place v archimédienne. Le terme local est
(4)
S
˜
L
1,v (˜ s)
˜
M
1,v (˜ s),λ1,v (˜ s)
(δ 1,v (˜ s), B
˜
G , (f
˜
G
1,v (˜ s)
v
) ˜
L
1,v (˜ s) ).
On peut supposer comme plus haut que les éléments du support de δ 1,v ont leur
partie semi-simple dans une classe de conjugaison stable O
v . Fixons H v ∈ A ˜
M
v
en
position générale. Relevons-le en un élément H 1,v ∈ A ˜
M
1,v (˜ s) . Considérons un Levi
de ˜
L
v (˜ s) contenant ˜
M
v . Conformément aux notations introduites en 6.7, notons-le
˜
R
v (˜ s). Les définitions de [V] 6.3 s’étendent au cas des distributions se transformant
selon le caractère λ 1,v (˜ s) de C 1 (˜ s; F v ). On a défini dans cette référence un élément
ξ
˜
R
1,v (˜ s),st (δ 1,v (˜ s), B
˜
G , H
˜
R
1,v (˜ s)
1,v
).
C’est une distribution induite à ˜
R
1,v (˜ s; F v ) d’un élément de D
st
g´ eom ( ˜
M
1,v (˜ s; F v ))
dont le support est formé d’éléments de partie semi-simple dans O
v . La proposition
[V] 6.3 entraîne que le (3) est faiblement équivalent à la fonction qui, à H 1,v associe
˜
R
v (˜ s)∈L
˜
L
v (˜ s) ( ˜
M
v )
S
˜
L
1,v (˜ s)
˜
R
1,v (˜ s),λ1,v (˜ s)
exp(H 1,v, ˜
R
1,v (˜ s) )ξ
˜
R
1,v (˜ s),st (δ 1,v (˜ s), B
˜
G , H
˜
R
1,v (˜ s)
1,v
), (f
˜
G
1,v (˜ s)
v
) ˜
L
1,v (˜ s)
.
Cela implique que, si l’on remplace dans l’expression ci-dessus H 1,v par H 1,v /n,
pour un entier n ≥ 1, la limite de cette expression quand n tend vers l’infini est
égale à (4). Posons
τ
˜
R
1,v (˜ s)
1,v
(n) = exp(H 1,v, ˜
R
1,v (˜ s) /n)ξ
˜
R
1,v (˜ s),st (δ 1,v (˜ s), B
˜
G , H
˜
R
1,v (˜ s)
1,v
/n).
Pour unifier les notations, pour une place v ∈ V non-archimédienne, posons
τ
˜
M
1,v (˜ s)
1,v
(n) = δ 1,v (˜ s).
Enfin, on a défini en 6.7 l’ensemble L
˜
G
(˜ s) ( ˜
M
V ). Notons L
˜
G
(˜ s)
∞
( ˜
M
V ) le sousensemble des ˜
R
V (˜ s) ∈ L
˜
G
(˜ s) ( ˜
M
V ) tels que ˜
R
v (˜ s) = ˜
M
v pour toute place nonarchimédienne. Avec ces définitions, on obtient que S
G
(˜ s)
M (δ, B
˜
G , f
G
(˜ s) ) est égale
à la limite quand n tend vers l’infini de
(5)
˜
R
V (˜ s)∈L
˜
G (˜ s)
∞
( ˜
M
V )
˜
L
V (˜ s)∈L
˜
G (˜ s) ( ˜
R
V (˜ s))
e
˜
G
(˜ s)
˜
M
V
( ˜
M
, ˜
L
V (˜ s))
v∈V
S
˜
L
1,v (˜ s)
˜
R
1,v (˜ s),λ1,v (˜ s)
τ
˜
M
1,v (˜ s)
1,v
(n), B
˜
G , (f
˜
G
1,v (˜ s)
v
) ˜
L
1,v (˜ s)
.