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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
⊗ v∈V∞ τ 1,v . L’égalité (1) devient
S
L
V (˜ s)
R
V (˜ s) (τ , B
˜
G , (f
G
(˜ s) ) L
V (˜ s) ) = c[˜ s, L
V (˜ s)]S
˜
R
1,∞
λ1,∞ (τ 1,∞ , φ 1,∞ [˜ s, L
V (˜ s)]),
où c[˜ s, L
V (˜ s)] est indépendant des τ 1,v pour v ∈ Val ∞ (F ). Posons
φ 1,∞ =
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
RV )/Z( ˆ
G) Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))
˜
L
V (˜ s)∈L
˜
G (˜ s) ( ˜
R
V ( ˜
ζ))
e
˜
G
(˜ s)
˜
M
V
( ˜
M
, ˜
L
V (˜ s))c[˜ s, L
V (˜ s)]φ 1,∞ [˜ s, L
V (˜ s)].
Alors
(3)
J( ˆ
R V , τ , f) = S
˜
R
1,∞
λ1,∞ (τ 1,∞ , φ 1,∞ ).
Soit μ 1,∞ ∈ D
st
g´ eom,λ1,∞ ( ˜
M
1 (F ∞ )), à support dans les éléments de ˜
M
(F ∞ ) de
partie semi-simple dans O
∞ , tel que δ 1,∞ soit l’induite de μ 1,∞ . En appliquant
(3) à τ = δ, on obtient
J( ˆ
R V , δ, f) = S
˜
M
1,∞
λ1,∞ (μ 1,∞ , φ 1,∞, ˜
M
1,∞
).
On veut prouver que le membre de gauche est nul. Il suffit de prouver que φ 1,∞, ˜
M
1,∞
est nul au voisinage de O
∞ . Précisément, il suffit de prouver que, pour ν 1,∞ ∈
D
st
orb,λ1,∞ ( ˜
M
1 (F ∞ )), à support ˜
G-régulier et proche de O
∞ , on a
S
˜
M
1,∞
λ1,∞ (ν 1,∞ , φ 1,∞, ˜
M
1,∞
) = 0.
Fixons un tel ν 1,∞ , notons τ 1,∞ l’induite de ν 1,∞ à ˜
R
1,∞ (F ∞ ). Complétons τ 1,∞
en un élément τ de composantes δ 1,v aux places de V non-archimédiennes. Le
même calcul que ci-dessus montre que
S
˜
M
1,∞
λ1,∞ (ν 1,∞ , φ 1,∞, ˜
M
1,∞
) = J( ˆ
R V , τ , f).
Mais τ vérifie les hypothèses de 6.8. Donc le membre de droite ci-dessus est nul.
D’où l’assertion cherchée, ce qui prouve la proposition 6.7.
Nous allons maintenant prouver que cette proposition 6.7 entraîne la proposition 6.6. Considérons la définition 6.6(2). On utilise la proposition 4.2(i) pour
développer chaque terme S
G
(˜ s)
M (δ, B
˜
G , f
G
(˜ s) ). Avec les notations que l’on a introduites, on obtient
S
G
(˜ s)
M (δ, B
˜
G , f
G
(˜ s) )
=
˜
L
V (˜ s)∈L
˜
G (˜ s) ( ˜
M
V )
e
˜
G
(˜ s)
˜
M
V
( ˜
M
, ˜
L
V (˜ s))S
L
V (˜ s)
M
V
(δ, B
˜
G , (f
G
(˜ s) ) L
V (˜ s) ).