VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10
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induite d’un élément de D
st
g´ eom,λ1,v ( ˜
M
1 (F v )) dont le support est formé d’éléments
de partie semi-simple dans O
v . Notons O
˜
R
v
v
la classe de conjugaison stable dans
˜
R
v (F v ) contenant O
. L’hypothèse sur δ est que O
˜
R
v
v
est ˜
G-équisingulière pour
toute place v archimédienne. Nous considérons comme fixés f et les composantes
δ 1,v pour v non archimédienne. On va étudier comment J( ˆ
R V , δ, f) dépend des
δ 1,v pour v archimédienne. Pour cela, considérons pour toute place archimédienne
un élément τ 1,v ∈ D
st
g´ eom,λ1,v ( ˜
R
1,v (F v )). On suppose soit que τ 1,v = δ 1,v , soit que
τ 1,v appartient à D
st
orb,λ1,v ( ˜
R
1,v (F v )) et que son support est formé d’éléments ˜
Gréguliers proches de O
˜
R
v
v . Pour unifier les notations, on pose τ 1,v = δ 1,v pour toute
v ∈ V non-archimédienne. On note τ l’élément de D
st
g´ eom (R
V ) auquel s’identifie
⊗ v∈V τ 1,v .
Pour tout ˜
s ∈ ˜
ζZ( ˆ
R V )/Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ , fixons des données supplémentaires
G
1 (˜ s),. . .,( ˜
K
1,v (˜ s)) v ∈V pour G
(˜ s). On a deux séries de données auxiliaires pour
la donnée R
V = R
V (˜ s). Comme on l’a dit, les espaces SI λ1(˜ s) ( ˜
R
1,V (˜ s; F V )) et
SI λ1 ( ˜
R
1,V (F V )) se recollent canoniquement. On peut décomposer cet isomorphisme canonique en produit d’isomorphismes sur toutes les places v ∈ V . On
a alors des isomorphismes duaux entre espaces de distributions. Pour tout v ∈ V ,
τ 1,v s’identifie ainsi à un élément τ 1,v (˜ s) ∈ D
st
g´ eom,λ1,v (˜ s) ( ˜
R
1,v (˜ s; F v )). D’autre
part, f
G
(˜ s) s’identifie à un élément ⊗ v∈V f 1,v (˜ s). On a l’égalité
(1)
S
L
V (˜ s)
R
V (˜ s) (τ , B
˜
G , (f
G
(˜ s) ) L
V (˜ s) )
=
v∈V
S
˜
L
1,v (˜ s)
˜
R
1,v (˜ s),λ1,v (˜ s)
(τ 1,v (˜ s), B
˜
G , f 1,v (˜ s) ˜
L
1,v (˜ s) ).
Si v est archimédienne, on a dit que l’on pouvait oublier le système de fonctions
B
˜
G en vertu de l’hypothèse sur le support de τ 1,v . On a vu en [V] 1.4 (2) et (3)
qu’il existait ϕ 1,v ∈ SI λ1,v (˜ s) ( ˜
R
1,v (˜ s; F v )) de sorte que
(2) pour tout τ 1,v comme ci-dessus, on a
S
˜
L
1,v (˜ s)
˜
R
1,v (˜ s),λ1,v (˜ s)
(τ 1,v , f 1,v (˜ s) ˜
L
1,v (˜ s) ) = S
˜
R
1,v (˜ s)
λ1,v (˜ s) (τ 1,v (˜ s), ϕ 1,v ).
A l’aide des recollements fixés, on peut identifier ϕ 1,v à un élément de
SI λ1,v ( ˜
R
1,v (F v )). Comme cet élément dépend de ˜
s et de L
V (˜ s), notons-le
φ 1,v [˜ s, L
V (˜ s)]. Le membre de droite de (2) devient
S
˜
R
1,v
λ1,v (τ 1,v , φ 1,v [˜ s, L
V (˜ s)]).
Notons V ∞ l’ensemble des places archimédiennes de F et indiquons par un indice
∞ les produits ou produits tensoriels sur les places v ∈ V ∞ . Par exemple τ 1,∞ =