714
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
que, pour tout v ∈ V , ˜
L
v soit un espace de Levi de ˜
G
(˜ s) défini sur F v et contenant ˜
R
v ( ˜
ζ). Pour une telle famille et pour v ∈ V , notons ˆ
L v le commutant de
Z( ˆ
L
v )
ΓF v ,0 dans ˆ
G. Alors la famille ˆ
L V = ( ˆ
L v ) v∈V appartient à L( ˆ
R V ). La famille
˜
L
V apparaît comme la famille d’espaces de Levi associée à la donnée endoscopique
elliptique L
V (˜ s) de ( ˆ
L V , a ˆ
LV ). Pour simplifier les notations, nous noterons directement ˜
L
V (˜ s) les éléments de L
˜
G
(˜ s) ( ˜
R
V ( ˜
ζ)). Remarquons que l’application «terme
constant»
SI(G
(˜ s)) → SI(L
(˜ s))
f
→
f L (˜ s)
est bien définie.
Soient ˆ
R V ∈ L( ˆ
M V ), δ ∈ D
st
g´ eom (R
V ( ˜
ζ)) et f ∈ I(K ˜
G(F V ), ω). On suppose (2) vérifiée. On suppose aussi
(3) R
( ˜
ζ) est elliptique.
On définit
J( ˆ
R V , δ, f) =
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
RV )/Z( ˆ
G) Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))
˜
L
V (˜ s)∈L
˜
G (˜ s) ( ˜
R
V ( ˜
ζ))
e
˜
G
(˜ s)
˜
M
V
( ˜
M
, ˜
L
V (˜ s))S
L
V (˜ s)
R
V ( ˜
ζ)
(δ, B
˜
G , (f
G
(˜ s) ) L
V (˜ s) ).
Proposition. Soient ˆ
R V ∈ L( ˆ
M V ), δ ∈ D
st
g´ eom (R
V ( ˜
ζ)) et f ∈ I(K ˜
G(F V ), ω). On
suppose que (2) et (3) sont vérifiées et que δ est l’image par induction d’un élément
de D
st
g´ eom (M
V ). Alors J( ˆ
R V , δ, f) = 0.
VI.6.8 Une deuxième proposition auxiliaire
Proposition. Soient ˆ
R V ∈ L( ˆ
M V ), δ ∈ D
st
g´ eom (R
V ( ˜
ζ)) et f ∈ I(K ˜
G(F V ), ω).
On suppose que R
( ˜
ζ) est elliptique et que δ est l’image par induction d’un élément de D
st
orb (M
V ) dont le support est formé d’éléments ˜
G-réguliers aux places
archimédiennes. Alors J( ˆ
R V , δ, f) = 0.
VI.6.9 Réduction de la proposition 6.6
Evidemment, la proposition 6.8 est un cas particulier de la proposition 6.7. Mais
nous allons prouver qu’inversement, elle implique cette proposition. Considérons
la situation de cette proposition 6.7. On peut supposer f = ⊗ v∈V f v . On fait jouer
aux données G
( ˜
ζ) et R
V ( ˜
ζ) un rôle de référence. Pour simplifier, on supprime le
terme ˜
ζ des notations, en posant G
= G
( ˜
ζ), R
V = R
V ( ˜
ζ). Fixons des données
supplémentaires G
1 ,. . .,( ˜
K
1,v ) v ∈V pour G
. On peut supposer que δ s’identifie à
⊗ v∈V δ 1,v , avec δ 1,v ∈ D
st
g´ eom,λ1,v ( ˜
R
1,v (F v )). On peut fixer pour tout v ∈ V une
classe de conjugaison stable semi-simple O
v dans ˜
M
(F v ) de sorte que δ 1,v soit
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
que, pour tout v ∈ V , ˜
L
v soit un espace de Levi de ˜
G
(˜ s) défini sur F v et contenant ˜
R
v ( ˜
ζ). Pour une telle famille et pour v ∈ V , notons ˆ
L v le commutant de
Z( ˆ
L
v )
ΓF v ,0 dans ˆ
G. Alors la famille ˆ
L V = ( ˆ
L v ) v∈V appartient à L( ˆ
R V ). La famille
˜
L
V apparaît comme la famille d’espaces de Levi associée à la donnée endoscopique
elliptique L
V (˜ s) de ( ˆ
L V , a ˆ
LV ). Pour simplifier les notations, nous noterons directement ˜
L
V (˜ s) les éléments de L
˜
G
(˜ s) ( ˜
R
V ( ˜
ζ)). Remarquons que l’application «terme
constant»
SI(G
(˜ s)) → SI(L
(˜ s))
f
→
f L (˜ s)
est bien définie.
Soient ˆ
R V ∈ L( ˆ
M V ), δ ∈ D
st
g´ eom (R
V ( ˜
ζ)) et f ∈ I(K ˜
G(F V ), ω). On suppose (2) vérifiée. On suppose aussi
(3) R
( ˜
ζ) est elliptique.
On définit
J( ˆ
R V , δ, f) =
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
RV )/Z( ˆ
G) Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))
˜
L
V (˜ s)∈L
˜
G (˜ s) ( ˜
R
V ( ˜
ζ))
e
˜
G
(˜ s)
˜
M
V
( ˜
M
, ˜
L
V (˜ s))S
L
V (˜ s)
R
V ( ˜
ζ)
(δ, B
˜
G , (f
G
(˜ s) ) L
V (˜ s) ).
Proposition. Soient ˆ
R V ∈ L( ˆ
M V ), δ ∈ D
st
g´ eom (R
V ( ˜
ζ)) et f ∈ I(K ˜
G(F V ), ω). On
suppose que (2) et (3) sont vérifiées et que δ est l’image par induction d’un élément
de D
st
g´ eom (M
V ). Alors J( ˆ
R V , δ, f) = 0.
VI.6.8 Une deuxième proposition auxiliaire
Proposition. Soient ˆ
R V ∈ L( ˆ
M V ), δ ∈ D
st
g´ eom (R
V ( ˜
ζ)) et f ∈ I(K ˜
G(F V ), ω).
On suppose que R
( ˜
ζ) est elliptique et que δ est l’image par induction d’un élément de D
st
orb (M
V ) dont le support est formé d’éléments ˜
G-réguliers aux places
archimédiennes. Alors J( ˆ
R V , δ, f) = 0.
VI.6.9 Réduction de la proposition 6.6
Evidemment, la proposition 6.8 est un cas particulier de la proposition 6.7. Mais
nous allons prouver qu’inversement, elle implique cette proposition. Considérons
la situation de cette proposition 6.7. On peut supposer f = ⊗ v∈V f v . On fait jouer
aux données G
( ˜
ζ) et R
V ( ˜
ζ) un rôle de référence. Pour simplifier, on supprime le
terme ˜
ζ des notations, en posant G
= G
( ˜
ζ), R
V = R
V ( ˜
ζ). Fixons des données
supplémentaires G
1 ,. . .,( ˜
K
1,v ) v ∈V pour G
. On peut supposer que δ s’identifie à
⊗ v∈V δ 1,v , avec δ 1,v ∈ D
st
g´ eom,λ1,v ( ˜
R
1,v (F v )). On peut fixer pour tout v ∈ V une
classe de conjugaison stable semi-simple O
v dans ˜
M
(F v ) de sorte que δ 1,v soit