VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10
713
donnée globale G
(˜ s) est bien définie. Pour tout v ∈ V , L
v (˜ s) est une «donnée de
Levi» de la donnée locale G
v (˜ s). Fixons des données auxiliaires globales G
1 (˜ s),. . .,
( ˜
K
1,v ) v ∈V pour G
(˜ s). Il s’en déduit par restriction des données auxilaires locales
pour les L
v (˜ s), ainsi que des données auxiliaires globales pour M
. Conformément à notre habitude, on note par exemple ˜
L
1,v (˜ s) ou M
1 (˜ s) l’image réciproque
de ˜
L
v (˜ s) ou M
dans ˜
G
1 (˜ s). En posant ˜
L
1,V (˜ s; F V ) =
v∈V
˜
L
1,v (˜ s, F v ), on a un
espace de fonctions SI λ1 ( ˜
L
1,V (˜ s, F V )). Faisons varier le relèvement de ˜
s et les données auxiliaires. On remplace l’indice 1 par 2 pour ces nouvelles données. On a une
fonction de recollement définie sur le produit fibré ˜
L
12,V (˜ s; F V ) de ˜
L
1,V (˜ s; F V ) et
˜
L
2,V (˜ s; F V ) au-dessus de ˜
L
V (˜ s; F V ). Elle n’est définie qu’à multiplication près par
un scalaire. Mais on a remarqué au paragraphe précédent que l’on pouvait normaliser canoniquement les restrictions de ces fonctions au produit fibré similaire
˜
M
12 (F V ) qui est inclus dans ˜
L
12,V (˜ s; F V ). Cette normalisation fixe la fonction de
recollement sur tout ˜
L
12,V (˜ s; F V ). On peut alors définir par limite inductive un
espace que l’on note SI(L
V (˜ s)). Dualement, on a un espace D
st
g´ eom (L
V (˜ s)).
Soient v ∈ V et δ ∈ ˜
L
v (˜ s; F v ). Sur la clôture algébrique ¯
F v , il existe un
espace de Levi ˜
L v de ˜
G qui correspond à ˆ
L v . La classe de conjugaison de la partie
semi-simple de δ correspond à une classe de conjugaison d’un élément semi-simple
γ de ˜
L v . On dit que δ est ˜
G-régulier, resp. ˜
G-équisingulier, si γ est fortement
˜
G-régulier, resp. ˜
G-équisingulier. Un élément δ = (δ v ) v∈V ∈ ˜
L
V (˜ s; F V ) est dit
˜
G-régulier, resp. ˜
G-équisingulier, aux places archimédiennes si δ v est ˜
G-régulier,
resp. ˜
G-équisingulier, pour tout v archimédienne.
Soit ˆ
R V ∈ L( ˆ
M V ). On note L( ˆ
R V ) l’ensemble des ˆ
L V ∈ L( ˆ
M V ) telles que
ˆ
R v ⊂ ˆ
L v pour tout v ∈ V . Soient s ∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
L V ), f ∈ SI(L
V (˜ s)) et
δ ∈ D
st
g´ eom (R
V ( ˜
ζ)) = D
st
g´ eom (R
V (˜ s)). Supposons
(2) le support de δ soit formé d’éléments ˜
G-équisinguliers aux places archimédiennes.
Fixons des données auxiliaires comme ci-dessus. Pour simplifier, on peut supposer que δ et f s’identifient respectivement à ⊗ v∈V δ 1,v et ⊗ v∈V f 1,v . Les termes
du produit
v∈V
S
˜
L
1,v (˜ s)
˜
R
1,v (˜ s),λ1
(δ 1,v , B
˜
G , f 1,v )
sont bien définis. Notons que l’hypothèse (2) nous permet si l’on veut de supprimer
la mention du système de fonctions B
˜
G aux places archimédiennes. Quand on fait
varier les données auxiliaires, le produit ne change pas. On le note
S
L
V (˜ s)
R
V ( ˜
ζ)
(δ, B
˜
G , f ).
Soient ˆ
R V ∈ L( ˆ
M V ) et ˜
s ∈ ˜
ζZ( ˆ
R V )/Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ . Supposons G
(˜ s) et R
V ( ˜
ζ)
elliptiques. Notons L
˜
G
(˜ s) ( ˜
R
V ( ˜
ζ)) l’ensemble des familles ˜
L
V = ( ˜
L
v ) v∈V telles
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donnée globale G
(˜ s) est bien définie. Pour tout v ∈ V , L
v (˜ s) est une «donnée de
Levi» de la donnée locale G
v (˜ s). Fixons des données auxiliaires globales G
1 (˜ s),. . .,
( ˜
K
1,v ) v ∈V pour G
(˜ s). Il s’en déduit par restriction des données auxilaires locales
pour les L
v (˜ s), ainsi que des données auxiliaires globales pour M
. Conformément à notre habitude, on note par exemple ˜
L
1,v (˜ s) ou M
1 (˜ s) l’image réciproque
de ˜
L
v (˜ s) ou M
dans ˜
G
1 (˜ s). En posant ˜
L
1,V (˜ s; F V ) =
v∈V
˜
L
1,v (˜ s, F v ), on a un
espace de fonctions SI λ1 ( ˜
L
1,V (˜ s, F V )). Faisons varier le relèvement de ˜
s et les données auxiliaires. On remplace l’indice 1 par 2 pour ces nouvelles données. On a une
fonction de recollement définie sur le produit fibré ˜
L
12,V (˜ s; F V ) de ˜
L
1,V (˜ s; F V ) et
˜
L
2,V (˜ s; F V ) au-dessus de ˜
L
V (˜ s; F V ). Elle n’est définie qu’à multiplication près par
un scalaire. Mais on a remarqué au paragraphe précédent que l’on pouvait normaliser canoniquement les restrictions de ces fonctions au produit fibré similaire
˜
M
12 (F V ) qui est inclus dans ˜
L
12,V (˜ s; F V ). Cette normalisation fixe la fonction de
recollement sur tout ˜
L
12,V (˜ s; F V ). On peut alors définir par limite inductive un
espace que l’on note SI(L
V (˜ s)). Dualement, on a un espace D
st
g´ eom (L
V (˜ s)).
Soient v ∈ V et δ ∈ ˜
L
v (˜ s; F v ). Sur la clôture algébrique ¯
F v , il existe un
espace de Levi ˜
L v de ˜
G qui correspond à ˆ
L v . La classe de conjugaison de la partie
semi-simple de δ correspond à une classe de conjugaison d’un élément semi-simple
γ de ˜
L v . On dit que δ est ˜
G-régulier, resp. ˜
G-équisingulier, si γ est fortement
˜
G-régulier, resp. ˜
G-équisingulier. Un élément δ = (δ v ) v∈V ∈ ˜
L
V (˜ s; F V ) est dit
˜
G-régulier, resp. ˜
G-équisingulier, aux places archimédiennes si δ v est ˜
G-régulier,
resp. ˜
G-équisingulier, pour tout v archimédienne.
Soit ˆ
R V ∈ L( ˆ
M V ). On note L( ˆ
R V ) l’ensemble des ˆ
L V ∈ L( ˆ
M V ) telles que
ˆ
R v ⊂ ˆ
L v pour tout v ∈ V . Soient s ∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
L V ), f ∈ SI(L
V (˜ s)) et
δ ∈ D
st
g´ eom (R
V ( ˜
ζ)) = D
st
g´ eom (R
V (˜ s)). Supposons
(2) le support de δ soit formé d’éléments ˜
G-équisinguliers aux places archimédiennes.
Fixons des données auxiliaires comme ci-dessus. Pour simplifier, on peut supposer que δ et f s’identifient respectivement à ⊗ v∈V δ 1,v et ⊗ v∈V f 1,v . Les termes
du produit
v∈V
S
˜
L
1,v (˜ s)
˜
R
1,v (˜ s),λ1
(δ 1,v , B
˜
G , f 1,v )
sont bien définis. Notons que l’hypothèse (2) nous permet si l’on veut de supprimer
la mention du système de fonctions B
˜
G aux places archimédiennes. Quand on fait
varier les données auxiliaires, le produit ne change pas. On le note
S
L
V (˜ s)
R
V ( ˜
ζ)
(δ, B
˜
G , f ).
Soient ˆ
R V ∈ L( ˆ
M V ) et ˜
s ∈ ˜
ζZ( ˆ
R V )/Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ . Supposons G
(˜ s) et R
V ( ˜
ζ)
elliptiques. Notons L
˜
G
(˜ s) ( ˜
R
V ( ˜
ζ)) l’ensemble des familles ˜
L
V = ( ˜
L
v ) v∈V telles