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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
On peut poser
(2) I
K ˜
G,E
∗
(M
, δ, f ) =
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))S
G
(˜ s)
M (δ, B
˜
G , f
G
(˜ s) ).
Par convention, f
G
(˜ s) = 0 si G
(˜ s) n’est pas relevante. S’il existe un espace de
Levi K ˜
M correspondant à ˆ
M et si M
est relevante pour cet espace de Levi, ce
n’est autre que le terme I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, δ, f ) du paragraphe 4.4.
Proposition. Supposons soit qu’il n’existe aucun espace de Levi K ˜
M de K ˜
G correspondant à ˜
M , soit qu’un tel espace K ˜
M existe mais que M
soit une donnée non relevante de (KM, K ˜
M, a M ). Alors I
K ˜
G,E
∗
(M
, δ, f ) = 0 pour tout δ ∈
D
st
(M
V ) ⊗ Mes(M
(F V ))
∗ et tout f ∈ I(K ˜
G(F V ), ω) ⊗ Mes(G(F V )).
Les places archimédiennes compliquent grandement la démonstration, cf. la
remarque (30) de 6.10. On va énoncer deux propositions auxiliaires. On montrera
en 6.9 que la seconde entraîne la première et que celle-ci entraîne la proposition
ci-dessus. On prouvera la seconde proposition auxiliaire en 6.10. Dans les quatre
paragraphes suivants, on conserve la présente situation et on impose les hypothèses
de la proposition. Pour simplifier, on fixe des mesures de Haar sur tous les groupes
intervenant, ce qui nous débarrasse des espaces de mesures.
VI.6.7 Une première proposition auxiliaire
Soient v ∈ V et ˆ
L v un Levi de ˆ
G. Considérons la condition
(1) ˆ
T ⊂ ˆ
L v et il existe ˆ
P v ∈ P( ˆ
L v ) de sorte que ( ˆ
P v , ˆ
L v ) soit conservé par ˆ
θ et
par l’action de Γ Fv , qui est l’analogue locale de 6.6(1).
Notons ˆ
M v le commutant de Z( ˆ
M
)
ΓF v ,0 dans ˆ
G. C’est un Levi de ˆ
G inclus
dans ˆ
M . L’inclusion peut être stricte. Ce Levi vérifie (1). Posons ˆ
M V = ( ˆ
M v ) v∈V .
Notons L( ˆ
M V ) l’ensemble des familles ˆ
L V = ( ˆ
L v ) v∈V telles que, pour tout v ∈ V ,
ˆ
L v soit un Levi de ˆ
G vérifiant (1) et contenant ˆ
M v . Considérons une telle famille.
On pose
Z( ˆ
L V ) = Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ
∩ (∩ v∈V Z( ˆ
L v )) = Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ
∩ (∩ v∈V Z( ˆ
L v )
ΓF v , ˆ
θ ).
Pour une place v ∈ V , les mêmes considérations que dans le paragraphe précédent s’appliquent : on définit la notion de donnée endoscopique (locale) de
( ˆ
L v , a ˆ
Lv ). En particulier, puisque M
v est une donnée endoscopique elliptique de
( ˆ
M v , a ˆ
Mv ) et que ˆ
M v est un Levi de ˆ
L v , on peut définir la donnée endoscopique L
v (˜ s) de ( ˆ
L v , a ˆ
Lv ) pour ˜
s ∈ ˜
ζZ( ˆ
M)
ΓF v , ˆ
θ /Z( ˆ
L)
ΓF v , ˆ
θ . Considérons un élément s ∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
L V ). Alors L
v (˜ s) est défini pour tout v ∈ V et on pose
L
V (˜ s) = (L
v (˜ s)) v∈V . Relevons ˜
s en un élément de ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ . Alors la
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
On peut poser
(2) I
K ˜
G,E
∗
(M
, δ, f ) =
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))S
G
(˜ s)
M (δ, B
˜
G , f
G
(˜ s) ).
Par convention, f
G
(˜ s) = 0 si G
(˜ s) n’est pas relevante. S’il existe un espace de
Levi K ˜
M correspondant à ˆ
M et si M
est relevante pour cet espace de Levi, ce
n’est autre que le terme I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, δ, f ) du paragraphe 4.4.
Proposition. Supposons soit qu’il n’existe aucun espace de Levi K ˜
M de K ˜
G correspondant à ˜
M , soit qu’un tel espace K ˜
M existe mais que M
soit une donnée non relevante de (KM, K ˜
M, a M ). Alors I
K ˜
G,E
∗
(M
, δ, f ) = 0 pour tout δ ∈
D
st
(M
V ) ⊗ Mes(M
(F V ))
∗ et tout f ∈ I(K ˜
G(F V ), ω) ⊗ Mes(G(F V )).
Les places archimédiennes compliquent grandement la démonstration, cf. la
remarque (30) de 6.10. On va énoncer deux propositions auxiliaires. On montrera
en 6.9 que la seconde entraîne la première et que celle-ci entraîne la proposition
ci-dessus. On prouvera la seconde proposition auxiliaire en 6.10. Dans les quatre
paragraphes suivants, on conserve la présente situation et on impose les hypothèses
de la proposition. Pour simplifier, on fixe des mesures de Haar sur tous les groupes
intervenant, ce qui nous débarrasse des espaces de mesures.
VI.6.7 Une première proposition auxiliaire
Soient v ∈ V et ˆ
L v un Levi de ˆ
G. Considérons la condition
(1) ˆ
T ⊂ ˆ
L v et il existe ˆ
P v ∈ P( ˆ
L v ) de sorte que ( ˆ
P v , ˆ
L v ) soit conservé par ˆ
θ et
par l’action de Γ Fv , qui est l’analogue locale de 6.6(1).
Notons ˆ
M v le commutant de Z( ˆ
M
)
ΓF v ,0 dans ˆ
G. C’est un Levi de ˆ
G inclus
dans ˆ
M . L’inclusion peut être stricte. Ce Levi vérifie (1). Posons ˆ
M V = ( ˆ
M v ) v∈V .
Notons L( ˆ
M V ) l’ensemble des familles ˆ
L V = ( ˆ
L v ) v∈V telles que, pour tout v ∈ V ,
ˆ
L v soit un Levi de ˆ
G vérifiant (1) et contenant ˆ
M v . Considérons une telle famille.
On pose
Z( ˆ
L V ) = Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ
∩ (∩ v∈V Z( ˆ
L v )) = Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ
∩ (∩ v∈V Z( ˆ
L v )
ΓF v , ˆ
θ ).
Pour une place v ∈ V , les mêmes considérations que dans le paragraphe précédent s’appliquent : on définit la notion de donnée endoscopique (locale) de
( ˆ
L v , a ˆ
Lv ). En particulier, puisque M
v est une donnée endoscopique elliptique de
( ˆ
M v , a ˆ
Mv ) et que ˆ
M v est un Levi de ˆ
L v , on peut définir la donnée endoscopique L
v (˜ s) de ( ˆ
L v , a ˆ
Lv ) pour ˜
s ∈ ˜
ζZ( ˆ
M)
ΓF v , ˆ
θ /Z( ˆ
L)
ΓF v , ˆ
θ . Considérons un élément s ∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
L V ). Alors L
v (˜ s) est défini pour tout v ∈ V et on pose
L
V (˜ s) = (L
v (˜ s)) v∈V . Relevons ˜
s en un élément de ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ . Alors la