VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10
711
de ˆ
G, conservée par l’action galoisienne. Si K ˜
M est un K-espace de Levi de K ˜
G,
on sait définir la notion de donnée endoscopique de (KM, K ˜
M, a M ). En fait, K ˜
M
n’intervient dans cette définition que via le Levi ˆ
M de ˆ
G qui lui est associé. On
sait que l’on peut supposer ce Levi standard et invariant par ˆ
θ et par l’action
galoisienne. Pour se donner un peu plus de liberté, on peut imposer la condition
plus faible
(1) ˆ
T ⊂ ˆ
M et il existe ˆ
P ∈ P( ˆ
M ) de sorte que ( ˆ
P , ˆ
M ) soit conservé par ˆ
θ et par
l’action galoisienne.
Considérons non plus un K-espace de Levi K ˜
M de K ˜
G mais un Levi ˆ
M de
ˆ
G qui vérifie la condition (1). Le cocycle a se pousse en un cocycle a ˆ
M à valeurs
dans Z( ˆ
M ). On définit comme en 3.1 la notion de donnée endoscopique disons de
( ˆ
M , a ˆ
M ). Si ˆ
M correspond à un K-espace de Levi K ˜
M , cette notion coïncide avec
celle de donnée endoscopique de (KM, K ˜
M, a M ). Mais la présente notion est un
peu plus générale puisque ˆ
M ne corresponde pas toujours à un tel K-espace de
Levi. Considérons donc un Levi ˆ
M comme ci-dessus et une donnée endoscopique
M
= (M
, M
, ˜
ζ) de ( ˆ
M , a ˆ
M ). Un tore maximal de ˆ
M
est isomorphe à ˆ
T
ˆ
θ,0 .
Si on introduit des sous-tores maximaux T de G et T
de M
, on a par dualité
un homomorphisme ξ : T → T
. Il n’est défini qu’à conjugaison près mais sa
restriction à Z(G) est bien définie et envoie Z(G) dans Z(M
). On peut donc
définir l’espace tordu ˜
M
= M
× Z(G) Z( ˜
G) comme en [I] 1.7. Pour une place
v hors de V , la situation est non ramifiée. Il existe donc un espace de Levi ˜
M v
de ˜
G défini sur F v qui correspond à ˆ
M . La donnée localisée M
v est une donnée
endoscopique de (M v , ˜
M v , a Mv ). Le sous-espace hyperspécial ˜
K v ∩ ˜
M v détermine
alors un sous-espace hyperspécial ˜
K
M
v
de ˜
M
(F v ), bien défini modulo conjugaison
par M
AD (F v ). On fixe de tels sous-espaces, soumis à la condition de compatibilité
globale de 1.1. La notion de données auxiliaires M
1 , ˜
M
1 , C 1 , ˆ
ξ 1 définies sur F
et non ramifiées hors de V se définit comme en 3.3 et la preuve du lemme de
ce paragraphe montre que de telles données existent. On adjoint à ces données
une familles d’espaces hyperspéciaux ( ˜
K
M
1,v ) v ∈V relevant les ˜
K
M
v , soumise à la
même condition de compatibilité globale. Considérons maintenant une autre série
de données auxilaires M
2 ,. . .,( ˜
K
M
2,v ) v ∈V . La même construction qu’en 1.15 définit
une fonction ˜
λ 12,V qui permet de recoller C
∞
c,λ1 ( ˜
M
1 (F V )) à C
∞
c,λ2 ( ˜
M
1 (F V )), du
moins si ˜
M
(F ) = ∅. On définit alors l’espace C
∞
c (M
V ) comme la limite inductive
de ces espaces. On a de même des espaces I(M
V ), SI(M
V ) etc. . . Toutes les
constructions formelles que l’on a faites dans le cas où ˆ
M correspondait à un
K-espace de Levi de K ˜
G s’étendent dans notre situation.
Cela étant, supposons ˜
M
(F ) = ∅ et M
elliptique, c’est-à-dire que
Z( ˆ
M
)
ΓF ,0 = Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0 .
Soient
δ ∈ D
st
(M
V ) ⊗ Mes(M
(F V ))
∗ et f ∈ I(K ˜
G(F V ), ω) ⊗ Mes(G(F V )).
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de ˆ
G, conservée par l’action galoisienne. Si K ˜
M est un K-espace de Levi de K ˜
G,
on sait définir la notion de donnée endoscopique de (KM, K ˜
M, a M ). En fait, K ˜
M
n’intervient dans cette définition que via le Levi ˆ
M de ˆ
G qui lui est associé. On
sait que l’on peut supposer ce Levi standard et invariant par ˆ
θ et par l’action
galoisienne. Pour se donner un peu plus de liberté, on peut imposer la condition
plus faible
(1) ˆ
T ⊂ ˆ
M et il existe ˆ
P ∈ P( ˆ
M ) de sorte que ( ˆ
P , ˆ
M ) soit conservé par ˆ
θ et par
l’action galoisienne.
Considérons non plus un K-espace de Levi K ˜
M de K ˜
G mais un Levi ˆ
M de
ˆ
G qui vérifie la condition (1). Le cocycle a se pousse en un cocycle a ˆ
M à valeurs
dans Z( ˆ
M ). On définit comme en 3.1 la notion de donnée endoscopique disons de
( ˆ
M , a ˆ
M ). Si ˆ
M correspond à un K-espace de Levi K ˜
M , cette notion coïncide avec
celle de donnée endoscopique de (KM, K ˜
M, a M ). Mais la présente notion est un
peu plus générale puisque ˆ
M ne corresponde pas toujours à un tel K-espace de
Levi. Considérons donc un Levi ˆ
M comme ci-dessus et une donnée endoscopique
M
= (M
, M
, ˜
ζ) de ( ˆ
M , a ˆ
M ). Un tore maximal de ˆ
M
est isomorphe à ˆ
T
ˆ
θ,0 .
Si on introduit des sous-tores maximaux T de G et T
de M
, on a par dualité
un homomorphisme ξ : T → T
. Il n’est défini qu’à conjugaison près mais sa
restriction à Z(G) est bien définie et envoie Z(G) dans Z(M
). On peut donc
définir l’espace tordu ˜
M
= M
× Z(G) Z( ˜
G) comme en [I] 1.7. Pour une place
v hors de V , la situation est non ramifiée. Il existe donc un espace de Levi ˜
M v
de ˜
G défini sur F v qui correspond à ˆ
M . La donnée localisée M
v est une donnée
endoscopique de (M v , ˜
M v , a Mv ). Le sous-espace hyperspécial ˜
K v ∩ ˜
M v détermine
alors un sous-espace hyperspécial ˜
K
M
v
de ˜
M
(F v ), bien défini modulo conjugaison
par M
AD (F v ). On fixe de tels sous-espaces, soumis à la condition de compatibilité
globale de 1.1. La notion de données auxiliaires M
1 , ˜
M
1 , C 1 , ˆ
ξ 1 définies sur F
et non ramifiées hors de V se définit comme en 3.3 et la preuve du lemme de
ce paragraphe montre que de telles données existent. On adjoint à ces données
une familles d’espaces hyperspéciaux ( ˜
K
M
1,v ) v ∈V relevant les ˜
K
M
v , soumise à la
même condition de compatibilité globale. Considérons maintenant une autre série
de données auxilaires M
2 ,. . .,( ˜
K
M
2,v ) v ∈V . La même construction qu’en 1.15 définit
une fonction ˜
λ 12,V qui permet de recoller C
∞
c,λ1 ( ˜
M
1 (F V )) à C
∞
c,λ2 ( ˜
M
1 (F V )), du
moins si ˜
M
(F ) = ∅. On définit alors l’espace C
∞
c (M
V ) comme la limite inductive
de ces espaces. On a de même des espaces I(M
V ), SI(M
V ) etc. . . Toutes les
constructions formelles que l’on a faites dans le cas où ˆ
M correspondait à un
K-espace de Levi de K ˜
G s’étendent dans notre situation.
Cela étant, supposons ˜
M
(F ) = ∅ et M
elliptique, c’est-à-dire que
Z( ˆ
M
)
ΓF ,0 = Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0 .
Soient
δ ∈ D
st
(M
V ) ⊗ Mes(M
(F V ))
∗ et f ∈ I(K ˜
G(F V ), ω) ⊗ Mes(G(F V )).