710
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
Or Z( ˆ
G)
ΓF
∩ ˆ
G
⊂ Z( ˆ
G
) ⊂ Z( ˆ
M
), et on trouve donc que
n 1 (G
, M
, ˆ
M ) = |Aut G (G
)||W ( ˆ
M
)
ΓF
|| Aut ˆ
G (G
, M
)/ ˆ
M
Z( ˆ
G)
ΓF
|
−1 .
Dans (2), il y a d’abord l’image réciproque Norm ˆ
G ( ˆ
M )
∗ de W ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ dans
Norm ˆ
G ( ˆ
M ) qui opère sur les M
alors que dans la somme on n’a pris en compte
que l’action de ˆ
M ; ensuite, sur les classes de conjugaison de G
modulo Z( ˆ
M )
ΓF
opère Aut ˆ
M (M
)/ ˆ
M
Z( ˆ
M )
ΓF . Ainsi
n 2 (G
, M
, ˆ
M ) = | Norm ˆ
G ( ˆ
M )
∗ / ˆ
M Aut ˆ
G (G
, M
, ˆ
M )|
× | Aut ˆ
M (M
)/ Aut ˆ
M (G
, M
, ˆ
M )Z( ˆ
M )
ΓF
|.
Ce nombre est évidemment fini et on peut le récrire sous la forme :
|W ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ
|| Aut ˆ
G (G
, M
, ˆ
M )/ Aut ˆ
M (G
, M
, ˆ
M )|
−1
× |Aut ˆ
M (M
)|| Aut ˆ
M (G
, M
, ˆ
M )/ ˆ
M
(Z( ˆ
M )
ΓF
∩ Aut ˆ
M (G
, M
, ˆ
M ))|
−1
= |W ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ
||Aut ˆ
M (M
)|
| Aut ˆ
G (G
, M
, ˆ
M )/ ˆ
M
(Z( ˆ
M )
ΓF
∩ Aut ˆ
M (G
, M
, ˆ
M ))|
−1 .
Ainsi démontrer (4) est équivalent à montrer que
| Aut ˆ
G (G
, M
)/ ˆ
M
Z( ˆ
G)
ΓF
|
= | Aut ˆ
G (G
, M
, ˆ
M )/ ˆ
M
(Z( ˆ
M )
ΓF
∩ Aut ˆ
M (G
, M
, ˆ
M ))|.
Comme ˆ
M est uniquement déterminé par G
et son espace de Levi ˜
M
,
Aut ˆ
G (G
, M
) = Aut ˆ
G (G
, M
, ˆ
M )
et il suffit de montrer l’inclusion
Z( ˆ
M )
ΓF
∩ Aut ˆ
G (G
) → ˆ
M
Z( ˆ
G)
ΓF .
Pour montrer cette inclusion, on considère l’image de Z( ˆ
M )
ΓF
∩ Aut ˆ
G (G
) dans
ˆ
T /Z( ˆ
G) ; l’image est incluse dans ( ˆ
T /Z( ˆ
G))
ΓF , ˆ
θ ; or ˆ
T /Z( ˆ
G) est un tore induit au
sens suivant : le groupe de ces caractères admet une base sur laquelle ˆ
θ et Γ F opère
par permutations. Ainsi ( ˆ
T /Z( ˆ
G))
ΓF , ˆ
θ est un tore connexe et est nécessairement
l’image de ˆ
T
ΓF , ˆ
θ,0 ; or ˆ
T
ΓF , ˆ
θ,0 est un sous-groupe de ( ˆ
M
)
ΓF et ainsi Z( ˆ
M )
ΓF
∩
Aut ˆ
G (G
) est un sous-groupe de ( ˆ
M
)
ΓF Z( ˆ
G) et donc de ( ˆ
M
)
ΓF Z( ˆ
G)
ΓF .
VI.6.6 Un résultat d’annulation
On travaille ici avec des K-espaces. On fixe un ensemble fini V de places contenant
V ram . On fixe comme toujours une paire de Borel épinglée ˆ
E = ( ˆ
B, ˆ
T , ( ˆ
E α ) α∈Δ )
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
Or Z( ˆ
G)
ΓF
∩ ˆ
G
⊂ Z( ˆ
G
) ⊂ Z( ˆ
M
), et on trouve donc que
n 1 (G
, M
, ˆ
M ) = |Aut G (G
)||W ( ˆ
M
)
ΓF
|| Aut ˆ
G (G
, M
)/ ˆ
M
Z( ˆ
G)
ΓF
|
−1 .
Dans (2), il y a d’abord l’image réciproque Norm ˆ
G ( ˆ
M )
∗ de W ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ dans
Norm ˆ
G ( ˆ
M ) qui opère sur les M
alors que dans la somme on n’a pris en compte
que l’action de ˆ
M ; ensuite, sur les classes de conjugaison de G
modulo Z( ˆ
M )
ΓF
opère Aut ˆ
M (M
)/ ˆ
M
Z( ˆ
M )
ΓF . Ainsi
n 2 (G
, M
, ˆ
M ) = | Norm ˆ
G ( ˆ
M )
∗ / ˆ
M Aut ˆ
G (G
, M
, ˆ
M )|
× | Aut ˆ
M (M
)/ Aut ˆ
M (G
, M
, ˆ
M )Z( ˆ
M )
ΓF
|.
Ce nombre est évidemment fini et on peut le récrire sous la forme :
|W ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ
|| Aut ˆ
G (G
, M
, ˆ
M )/ Aut ˆ
M (G
, M
, ˆ
M )|
−1
× |Aut ˆ
M (M
)|| Aut ˆ
M (G
, M
, ˆ
M )/ ˆ
M
(Z( ˆ
M )
ΓF
∩ Aut ˆ
M (G
, M
, ˆ
M ))|
−1
= |W ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ
||Aut ˆ
M (M
)|
| Aut ˆ
G (G
, M
, ˆ
M )/ ˆ
M
(Z( ˆ
M )
ΓF
∩ Aut ˆ
M (G
, M
, ˆ
M ))|
−1 .
Ainsi démontrer (4) est équivalent à montrer que
| Aut ˆ
G (G
, M
)/ ˆ
M
Z( ˆ
G)
ΓF
|
= | Aut ˆ
G (G
, M
, ˆ
M )/ ˆ
M
(Z( ˆ
M )
ΓF
∩ Aut ˆ
M (G
, M
, ˆ
M ))|.
Comme ˆ
M est uniquement déterminé par G
et son espace de Levi ˜
M
,
Aut ˆ
G (G
, M
) = Aut ˆ
G (G
, M
, ˆ
M )
et il suffit de montrer l’inclusion
Z( ˆ
M )
ΓF
∩ Aut ˆ
G (G
) → ˆ
M
Z( ˆ
G)
ΓF .
Pour montrer cette inclusion, on considère l’image de Z( ˆ
M )
ΓF
∩ Aut ˆ
G (G
) dans
ˆ
T /Z( ˆ
G) ; l’image est incluse dans ( ˆ
T /Z( ˆ
G))
ΓF , ˆ
θ ; or ˆ
T /Z( ˆ
G) est un tore induit au
sens suivant : le groupe de ces caractères admet une base sur laquelle ˆ
θ et Γ F opère
par permutations. Ainsi ( ˆ
T /Z( ˆ
G))
ΓF , ˆ
θ est un tore connexe et est nécessairement
l’image de ˆ
T
ΓF , ˆ
θ,0 ; or ˆ
T
ΓF , ˆ
θ,0 est un sous-groupe de ( ˆ
M
)
ΓF et ainsi Z( ˆ
M )
ΓF
∩
Aut ˆ
G (G
) est un sous-groupe de ( ˆ
M
)
ΓF Z( ˆ
G) et donc de ( ˆ
M
)
ΓF Z( ˆ
G)
ΓF .
VI.6.6 Un résultat d’annulation
On travaille ici avec des K-espaces. On fixe un ensemble fini V de places contenant
V ram . On fixe comme toujours une paire de Borel épinglée ˆ
E = ( ˆ
B, ˆ
T , ( ˆ
E α ) α∈Δ )