VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10
709
Proposition. Dans les deux sommes suivantes, les G
, M
, ˆ
M sont des triplets
comme ci-dessus. Et on a :
(1)
G /∼ ˆ
G
i( ˜
G, ˜
G
)
M /∼ ˆ
G
|W ( ˆ
M
)
ΓF
|
−1 S(G
, M
, ˆ
M );
=
ˆ
M/∼ ˆ
G
|W ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ
|
−1
M /∼ ˆ
M
i( ˆ
M , ˜
M
)
(2)
G =G (˜ s);˜ s∈˜ s M Z( ˆ
M ) Γ F /Z( ˆ
G) Γ F (1− ˆ
θ)(Z( ˆ
M) Γ F )
i
˜
M ( ˜
G, ˜
G
)S(G
, M
, ˆ
M )
=
ˆ
M/∼ ˆ
G
|W ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ
|
−1
M /∼ ˆ
M
i( ˆ
M, ˜
M
)
(3)
G =G (˜ s);˜ s∈˜ s M Z( ˆ
M) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
)S(G
, M
, ˆ
M ).
L’égalité de (2) et (3) résulte de [I] 3.3(2). On prouve l’égalité de (1) et
(2). Chaque somme est une somme sur les triplets G
, M
, ˆ
M comme expliqué
précédemment. Pour i = 1, 2 et pour G
, M
, ˆ
M on note n i (G
, M
, ˆ
M ) le nombre
de représentants de la classe de conjugaison sous ˆ
G de ce triplet qui apparaissent
dans la somme (i) (on vérifiera que ces nombres sont finis). Et on doit montrer
pour tout tel triplet que :
|W ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ
|i( ˜
G, ˜
G
)n 1 (G
, M
, ˆ
M )
× (|W ( ˆ
M
)
ΓF
|i
˜
M ( ˜
G, ˜
G
)i( ˆ
M , ˜
M
)n 2 (G
, M
, ˆ
M ))
−1
vaut 1. En tenant compte de la proposition 6.2, cela revient au même que de
démontrer :
(4)
|W ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ
|n 1 (G
, M
, ˆ
M )|W ( ˆ
M
)
ΓF
|
−1 n 2 (G
, M
, ˆ
M )
−1
= |Aut ˆ
G (G
)||Aut ˆ
M (M
)|
−1
Dans (1), le groupe Aut ˆ
G (G
)/ ˆ
G
opère sur les classes de ˆ
G
-conjugaison formées
d’éléments M
. Ainsi n 1 (G
, M
, ˆ
M ) = | Aut ˆ
G (G
)/ ˆ
G
Aut ˆ
G (G
, M
)|. Le sousgroupe Z( ˆ
G)
ΓF de Aut G (G
) opère trivialement sur tout M
espace de Levi de
G
et on peut donc voir Aut ˆ
G (G
)/ ˆ
G
Aut ˆ
G (G
, M
) comme un espace quotient
de Aut G (G
) et on a :
n 1 (G
, M
, ˆ
M ) = |Aut G (G
)|| Aut ˆ
G (G
, M
)/ Aut ˆ
G (G
, M
) ∩ ˆ
G
Z( ˆ
G)
ΓF
|
−1 .
Or Aut ˆ
G (G
, M
) ∩ ˆ
G
Z( ˆ
G)
ΓF = Norm ˆ
G (M
)Z( ˆ
G)
ΓF ; d’où
| Aut ˆ
G (G
, M
)/ Aut ˆ
G (G
, M
) ∩ ˆ
G
Z( ˆ
G)
ΓF
|
= | Aut ˆ
G (G
, M
)/ ˆ
M
Z( ˆ
G)
ΓF
|| Norm ˆ
G (M
)Z( ˆ
G)
ΓF / ˆ
M
Z( ˆ
G)
ΓF
|
−1
= | Aut ˆ
G (G
, M
)/ ˆ
M
Z( ˆ
G)
ΓF
||W ( ˆ
M
)
ΓF
|
−1
|Z( ˆ
G)
ΓF
∩ ˆ
G
/ ˆ
M
∩ Z( ˆ
G)
ΓF
|.