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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
donnée endoscopique elliptique de ˜
G tandis que M
est une donnée endoscopique
elliptique de ˆ
M ; donc en particulier, dans la donnée endoscopique G
, on a un
élément ˜
s G ∈ ˆ
G ˆ
θ/Z( ˆ
G) et dans la donnée endoscopique M
, on a un élément
˜
s M ∈ ˆ
M ˆ
θ/Z( ˆ
M ). Et on a nécessairement ˜
s G = ˜
s M Z( ˆ
M ). En tenant compte de
[I] 3.2 (1), on impose (ce qui est loisible) à ˜
s M d’être dans la classe canonique
sous Z( ˆ
M )
ΓF Z( ˆ
G) définie en loc. cite, à l’intérieur de sa classe sous Z( ˆ
M ). Ainsi
˜
s G ∈ ˜
s M Z( ˆ
M )
ΓF Z( ˆ
G)/Z( ˆ
G).
On a besoin de remarquer que Aut ˆ
M (M
) agit par conjugaison sur ˜
s M en
laissant stable sa classe modulo Z( ˆ
M )
ΓF Z( ˆ
G). En fait cela résulte d’un résultat
général prouvé dans le paragraphe suivant, que l’on applique avec ˜
G, G
remplacé
par ˆ
M, M
.
VI.6.4 Remarque sur l’action des groupes d’automorphismes
de données endoscopiques
Remarque. Soit G
une donnée endoscopique (non nécessairement elliptique) de
˜
G d’où en particulier un élément ˜
s G ∈ ˆ
G ˆ
θ. Alors pour tout x ∈ Aut ˆ
G (G
),
x˜ s G x
−1
∈ ˜
s G Z( ˆ
G)
ΓF .
On note z l’élément de Z( ˆ
G) tel que x˜ s G x
−1 = z˜ s G ; pour faire agir Γ F sur
z, on utilise les éléments de G
: pour tout w ∈ Γ F , on fixe h w ∈ G
dont l’image
dans la projection de G
sur Γ F est w. On a h w zh
−1
w = wzw
−1 . On conjugue cette
égalité par x :
xh w x
−1 z xh
−1
w x
−1 = x(wzw
−1 )x
−1 = wzw
−1 ,
car wzw
−1
∈ Z( ˆ
G) et x ∈ ˆ
G. On utilise le fait que h w commute à ˜
s G à un cocycle
près d’après les définitions de 3.1, cocycle noté a comme en [?]. En agissant par
conjugaison, x laisse stable G
et donc xh w x
−1 commute aussi à ˜
s G au même
cocycle près et pour tout w ∈ Γ F , a(w) ∈ Z( ˆ
G). D’où :
z˜ s G = x˜ s G x
−1 = x(a(w)
−1 h w ˜
s G h
−1
w )x
−1
= a(w)
−1 xh w x
−1 x˜ s G x
−1 xh
−1
w x
−1
= a(w)
−1 xh w x
−1 zxh
−1
w x
−1 xh w x
−1 ˜
s G xh
−1
w x
−1 = wzw
−1 ˜
s G .
Cela donne l’égalité cherchée z = wzw
−1 .
VI.6.5 La combinatoire
On a précisé les notations G
, ˆ
M, M
. Dans l’énoncé ci-dessous, on écrit ∼ H pour
indiquer que l’on prend l’élément considéré à conjugaison près sous le groupe H.
On définit aussi W ( ˆ
M ) := Norm ˆ
G
ˆ
M/ ˆ
M , qui est muni d’une action galoisienne et
d’une action de ˆ
θ. On définit de façon identique W ( ˆ
M
) = Norm ˆ
G
ˆ
M / ˆ
M
, qui
est muni d’une action galoisienne provenant de M
.
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
donnée endoscopique elliptique de ˜
G tandis que M
est une donnée endoscopique
elliptique de ˆ
M ; donc en particulier, dans la donnée endoscopique G
, on a un
élément ˜
s G ∈ ˆ
G ˆ
θ/Z( ˆ
G) et dans la donnée endoscopique M
, on a un élément
˜
s M ∈ ˆ
M ˆ
θ/Z( ˆ
M ). Et on a nécessairement ˜
s G = ˜
s M Z( ˆ
M ). En tenant compte de
[I] 3.2 (1), on impose (ce qui est loisible) à ˜
s M d’être dans la classe canonique
sous Z( ˆ
M )
ΓF Z( ˆ
G) définie en loc. cite, à l’intérieur de sa classe sous Z( ˆ
M ). Ainsi
˜
s G ∈ ˜
s M Z( ˆ
M )
ΓF Z( ˆ
G)/Z( ˆ
G).
On a besoin de remarquer que Aut ˆ
M (M
) agit par conjugaison sur ˜
s M en
laissant stable sa classe modulo Z( ˆ
M )
ΓF Z( ˆ
G). En fait cela résulte d’un résultat
général prouvé dans le paragraphe suivant, que l’on applique avec ˜
G, G
remplacé
par ˆ
M, M
.
VI.6.4 Remarque sur l’action des groupes d’automorphismes
de données endoscopiques
Remarque. Soit G
une donnée endoscopique (non nécessairement elliptique) de
˜
G d’où en particulier un élément ˜
s G ∈ ˆ
G ˆ
θ. Alors pour tout x ∈ Aut ˆ
G (G
),
x˜ s G x
−1
∈ ˜
s G Z( ˆ
G)
ΓF .
On note z l’élément de Z( ˆ
G) tel que x˜ s G x
−1 = z˜ s G ; pour faire agir Γ F sur
z, on utilise les éléments de G
: pour tout w ∈ Γ F , on fixe h w ∈ G
dont l’image
dans la projection de G
sur Γ F est w. On a h w zh
−1
w = wzw
−1 . On conjugue cette
égalité par x :
xh w x
−1 z xh
−1
w x
−1 = x(wzw
−1 )x
−1 = wzw
−1 ,
car wzw
−1
∈ Z( ˆ
G) et x ∈ ˆ
G. On utilise le fait que h w commute à ˜
s G à un cocycle
près d’après les définitions de 3.1, cocycle noté a comme en [?]. En agissant par
conjugaison, x laisse stable G
et donc xh w x
−1 commute aussi à ˜
s G au même
cocycle près et pour tout w ∈ Γ F , a(w) ∈ Z( ˆ
G). D’où :
z˜ s G = x˜ s G x
−1 = x(a(w)
−1 h w ˜
s G h
−1
w )x
−1
= a(w)
−1 xh w x
−1 x˜ s G x
−1 xh
−1
w x
−1
= a(w)
−1 xh w x
−1 zxh
−1
w x
−1 xh w x
−1 ˜
s G xh
−1
w x
−1 = wzw
−1 ˜
s G .
Cela donne l’égalité cherchée z = wzw
−1 .
VI.6.5 La combinatoire
On a précisé les notations G
, ˆ
M, M
. Dans l’énoncé ci-dessous, on écrit ∼ H pour
indiquer que l’on prend l’élément considéré à conjugaison près sous le groupe H.
On définit aussi W ( ˆ
M ) := Norm ˆ
G
ˆ
M/ ˆ
M , qui est muni d’une action galoisienne et
d’une action de ˆ
θ. On définit de façon identique W ( ˆ
M
) = Norm ˆ
G
ˆ
M / ˆ
M
, qui
est muni d’une action galoisienne provenant de M
.