VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10
707
Et on obtient
δ( ˜
G, ˜
G
)= |Z( ˆ
G)
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF ,0 (Z( ˆ
G
)
ΓF
∩Z( ˆ
G)
ΓF )||Z( ˆ
G
)
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF
∩Z( ˆ
G
)
ΓF
|
−1
.
On remarque que
Z( ˆ
G)
ΓF ,0 (Z( ˆ
G)
ΓF
∩ Z( ˆ
G
)
ΓF ) = Z( ˆ
G)
ΓF
∩ Z( ˆ
G)
ΓF ,0 ˆ
G
.
Ainsi
| Aut ˆ
G (G
)/Z( ˆ
G)
ΓF ,0 ˆ
G
||Z( ˆ
G)
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF ,0 (Z( ˆ
G
)
ΓF
∩Z( ˆ
G)
ΓF )|
−1 = |Aut ˆ
G (G
)|.
Et
i( ˜
G, ˜
G
) = |Aut ˆ
G (G
)|
−1
|Z( ˆ
G
)
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF
∩ Z( ˆ
G
)
ΓF
|
−1
× | ker
1 (F, Z( ˆ
G
))|| ker
1 (F, Z( ˆ
G))|
−1
= |Aut ˆ
G (G
)|
−1 i ˜
M (G, G
)
−1
|Z( ˆ
M
)
ΓF /Z( ˆ
M
)
ΓF
∩ Z( ˆ
M
)
ΓF
|
−1
× | ker
1 (F, Z( ˆ
M
))|| ker
1 (F, Z( ˆ
M ))|
−1
= |Aut ˆ
G (G
)|
−1 i ˜
M (G, G
)
−1
|Aut ˆ
M (M
)|i( ˜
M , ˜
M
),
ce qui est l’assertion cherchée.
VI.6.3 Combinatoire des sommes
On donnera en 6.5 un analogue du lemme 10.2 de [18]. Auparavant, il faut rappeler
que, si G
est une donnée endoscopique elliptique de (G, ˜
G, a) et si M
est un
espace de Levi de G
(en un sens compréhensible), il ne correspond pas forcément
à ˜
M
un espace de Levi ˜
M de ˜
G. Mais il lui correspond un groupe de Levi ˆ
M
de ˆ
G tel qu’il existe un sous-groupe parabolique ˆ
P ∈ P( ˆ
M ) qui soit stable par
l’action galoisienne et par ˆ
θ, cf. [I] 3.4. Dans la suite, ˆ
M est supposé vérifier cette
propriété. On dira que M
est une donnée endoscopique elliptique de ˆ
M . Les
constantes définies dans le paragraphe précédent sont encore définies dans cette
situation : ˜
M n’y intervenait que via ˆ
M . On les utilise en remplaçant ˜
M par ˆ
M
dans les notations.
On fixe une fonction notée S(G
, M
) sur l’ensemble des triplets G
, M
, ˆ
M
formé d’un espace endoscopique elliptique de ˜
G, d’un espace de Levi de cet espace
endoscopique et d’un espace de Levi de ˆ
G (vérifiant la condition ci-dessus) tel que
M
en soit un espace endoscopique elliptique. On suppose que cette fonction est
invariante sous l’action par conjugaison de ˆ
G. On va sommer de deux façons différentes cette fonction (avec des coefficients) sur l’ensemble des triplets G
, M
, ˆ
M
modulo conjugaison sous ˆ
G ; il faut préciser quelques notations.
Les triplets considérés sont formés d’un espace de Levi ˆ
M de ˆ
G et d’un couple
G
, M
, où M
est un espace de Levi de la donnée endoscopique G
et où G
est une