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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
VI.6.2 Au sujet des constantes
Pour ˜
G un espace tordu, on note j( ˜
G) := | det AG/A ˜
G
(1 − θ)| et, pour une donnée
endoscopique elliptique G
, on a posé en 5.1, i( ˜
G, ˜
G
) =
j( ˜
G)
−1
|π 0 (Aut ˆ
G (G
)/ ˆ
G
)|
−1
| ker
1 (F, Z( ˆ
G
))|| ker
1 (F, Z( ˆ
G))|
−1 δ( ˜
G, ˜
G
),
où δ( ˜
G, ˜
G
) = |π 0 (Z( ˆ
G)
ΓF )||π 0 (Z( ˆ
G
)
ΓF )|
−1
|π 0 (Z( ˆ
G)
ΓF ,0
∩ Z( ˆ
G
))|. On a précisé
ici la notation Aut(G
) de 5.1 en Aut ˆ
G (G
). Avec la description de 5.1, la composante neutre de Aut ˆ
G (G
)/ ˆ
G
est exactement l’image de Z( ˆ
G)
ΓF ,0 dans ce groupe
d’automorphismes. Ainsi
|π 0 (Aut ˆ
G (G
))| = | Aut ˆ
G (G
)/Z( ˆ
G)
ΓF ,0 ˆ
G
|.
On pose Aut ˆ
G (G
) = Aut ˆ
G (G
)/ ˆ
G
Z( ˆ
G)
ΓF qui est donc un groupe fini. On fixe
aussi des espaces de Levi de ˜
G et ˜
G
, notés ˜
M et ˜
M
. On suppose que ˜
M
est un
espace endoscopique de ˜
M . On a alors défini en 4.4, la constante
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
) := |Z( ˆ
G
)
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF
∩ Z( ˆ
G
)
ΓF
|
−1
|Z( ˆ
M
)
ΓF /Z( ˆ
M )
ΓF
∩ Z( ˆ
M
)
ΓF
|.
Ici on modifie cette constante car au lieu de sommer à l’intérieur d’une classe sous
Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ on va sommer sur une classe sous Z( ˆ
M )
ΓF Z( ˆ
G)/Z( ˆ
G)(1 −
ˆ
θ)(Z( ˆ
M )
ΓF ) (cf. [I] 3.3 (2)) et on pose i
˜
M ( ˜
G, ˜
G
) :=
j( ˜
G)
−1 j( ˜
M )|Z( ˆ
G
)
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF
∩ Z( ˆ
G
)
ΓF
|
−1
|Z( ˆ
M
)
ΓF /Z( ˆ
M )
ΓF
∩ Z( ˆ
M
)
ΓF
|.
et le but de ce paragraphe est de montrer la proposition suivante :
Proposition. Soient ˜
G, G
, ˜
M , M
; on a
i( ˜
G, ˜
G
)i
˜
M ( ˜
G, ˜
G
)
−1 i( ˜
M, ˜
M
)
−1 = |Aut ˆ
G (G
)|
−1
|Aut ˆ
M (M
)|.
Il est clair que les j(?) se compensent. On récrit différemment δ( ˜
G, ˜
G
) : par
ellipticité, Z( ˆ
G
)
ΓF ,0 = Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ,0 , d’où l’inclusion Z( ˆ
G
)
ΓF ,0
⊂ Z( ˆ
G)
ΓF ,0 . Ainsi
|π 0 (Z( ˆ
G
)
ΓF )|
−1
|π 0 (Z( ˆ
G)
ΓF ,0
∩ Z( ˆ
G
))| = |Z( ˆ
G
)/Z( ˆ
G)
ΓF ,0
∩ Z( ˆ
G
)|
−1 .
Et δ( ˜
G, ˜
G
) = |Z( ˆ
G)
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF ,0
||Z( ˆ
G
)
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF ,0
∩ Z( ˆ
G
)
ΓF
|
−1 . On considère
la suite exacte :
1 → Z( ˆ
G)
ΓF
∩ Z( ˆ
G
)
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF ,0
∩ Z( ˆ
G
)
ΓF
→ Z( ˆ
G)
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF ,0
→ Z( ˆ
G)
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF ,0 (Z( ˆ
G)
ΓF
∩ Z( ˆ
G
)
ΓF ).
Et la suite exacte :
1 → Z( ˆ
G)
ΓF
∩ Z( ˆ
G
)
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF ,0
∩ Z( ˆ
G
)
ΓF
→ Z( ˆ
G
)
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF ,0
∩ Z( ˆ
G
)
ΓF
→ Z( ˆ
G
)
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF
∩ Z( ˆ
G
)
ΓF .