VI.6. Preuve conditionnelle du théorème 5.10
705
VI.5.10 Le théorème principal
Levons l’hypothèse que (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure et travaillons plutôt avec un K-triplet (KG, K ˜
G, a). Soit V un ensemble fini de places
de F contenant V ram . Par un procédé formel familier, de la définition du paragraphe précédent se déduit celle des termes S
G
g´ eom (f
G
) apparaissant dans l’énoncé
suivant.
Théorème (à prouver). Pour tout f ∈ C
∞
c (K ˜
G(F V ), ω) ⊗ Mes(G(F V )), on a l’égalité
I
K ˜
G
g´ eom (f , ω) =
G ∈E( ˜
G,a,V )
i( ˜
G, ˜
G
)S
G
g´ eom (f
G
).
On montrera dans la section 6 que ce théorème résulte assez facilement des
autres théorèmes précédemment énoncés.
VI.6 Preuve conditionnelle du théorème 5.10
VI.6.1 Rappel
On considère un triplet (G, ˜
G, a) et une donnée endoscopique G
. On rappelle le
lemme suivant qui se trouve déjà dans [15].
Lemme. Les flèches naturelles, ker
1 (F, Z( ˆ
G)) → ker
1 (F, ˆ
T ) et
ker
1 (F, Z( ˆ
G
)) → ker
1 (F, ˆ
T
ˆ
θ,0 )
sont des isomorphismes.
La preuve suit [45] preuve du lemme 4.3.2 et [15] lemme 2 : ces deux flèches
sont évidemment analogues puisque ˆ
T
ˆ
θ,0 est un tore maximal de ˆ
G . On démontre
donc la première.
On a la suite exacte : 1 → Z( ˆ
G) → ˆ
T → ˆ
T /Z( ˆ
G) → 1 dont se déduit une
suite exacte de groupes de cohomologie. Le tore ˆ
T /Z( ˆ
G) est induit c’est-à-dire que
son groupe des caractères a une base sur laquelle Γ F agit par permutations ; ainsi
( ˆ
T /Z( ˆ
G))
ΓF est connexe et la flèche de l’énoncé est injective. Pour la surjectivité,
il suffit de remarquer que ker
1 (F, ( ˆ
T /Z( ˆ
G))) = 0 : en effet on se ramène au cas
où Γ F agit transitivement sur une base des caractères de ˆ
T /Z( ˆ
G). Dans ce cas
H
1 (W F , ( ˆ
T /Z( ˆ
G))) s’identifie à H
1 (W F , C
∗ ) où F
est une extension galoisienne
de F déterminé par le sous-groupe de Γ F stabilisant un élément de la base des
caractères avec l’action triviale de Γ F sur C
∗ ; ainsi ce groupe de cohomologie n’est
autre que le groupe des caractères de W F (continus à valeurs complexes). Un tel
caractère correspond à un élément du sous-groupe ker
1 (F, ( ˆ
T /Z( ˆ
G))) si le localisé
du caractère en toute place v est trivial ; le caractère est alors nécessairement
trivial.
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VI.5.10 Le théorème principal
Levons l’hypothèse que (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure et travaillons plutôt avec un K-triplet (KG, K ˜
G, a). Soit V un ensemble fini de places
de F contenant V ram . Par un procédé formel familier, de la définition du paragraphe précédent se déduit celle des termes S
G
g´ eom (f
G
) apparaissant dans l’énoncé
suivant.
Théorème (à prouver). Pour tout f ∈ C
∞
c (K ˜
G(F V ), ω) ⊗ Mes(G(F V )), on a l’égalité
I
K ˜
G
g´ eom (f , ω) =
G ∈E( ˜
G,a,V )
i( ˜
G, ˜
G
)S
G
g´ eom (f
G
).
On montrera dans la section 6 que ce théorème résulte assez facilement des
autres théorèmes précédemment énoncés.
VI.6 Preuve conditionnelle du théorème 5.10
VI.6.1 Rappel
On considère un triplet (G, ˜
G, a) et une donnée endoscopique G
. On rappelle le
lemme suivant qui se trouve déjà dans [15].
Lemme. Les flèches naturelles, ker
1 (F, Z( ˆ
G)) → ker
1 (F, ˆ
T ) et
ker
1 (F, Z( ˆ
G
)) → ker
1 (F, ˆ
T
ˆ
θ,0 )
sont des isomorphismes.
La preuve suit [45] preuve du lemme 4.3.2 et [15] lemme 2 : ces deux flèches
sont évidemment analogues puisque ˆ
T
ˆ
θ,0 est un tore maximal de ˆ
G . On démontre
donc la première.
On a la suite exacte : 1 → Z( ˆ
G) → ˆ
T → ˆ
T /Z( ˆ
G) → 1 dont se déduit une
suite exacte de groupes de cohomologie. Le tore ˆ
T /Z( ˆ
G) est induit c’est-à-dire que
son groupe des caractères a une base sur laquelle Γ F agit par permutations ; ainsi
( ˆ
T /Z( ˆ
G))
ΓF est connexe et la flèche de l’énoncé est injective. Pour la surjectivité,
il suffit de remarquer que ker
1 (F, ( ˆ
T /Z( ˆ
G))) = 0 : en effet on se ramène au cas
où Γ F agit transitivement sur une base des caractères de ˆ
T /Z( ˆ
G). Dans ce cas
H
1 (W F , ( ˆ
T /Z( ˆ
G))) s’identifie à H
1 (W F , C
∗ ) où F
est une extension galoisienne
de F déterminé par le sous-groupe de Γ F stabilisant un élément de la base des
caractères avec l’action triviale de Γ F sur C
∗ ; ainsi ce groupe de cohomologie n’est
autre que le groupe des caractères de W F (continus à valeurs complexes). Un tel
caractère correspond à un élément du sous-groupe ker
1 (F, ( ˆ
T /Z( ˆ
G))) si le localisé
du caractère en toute place v est trivial ; le caractère est alors nécessairement
trivial.