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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
5.6 pour tout triplet (G
1 , G
2 , j
∗ ) tel que N (G
1 , G
2 , j
∗ ) < N(G 1 , G 2 , j ∗ ). On suppose connus tous les résultats concernant les triplets (G, ˜
G, a) quelconques tels
que dim(G SC ) < N(G 1 , G 2 , j ∗ ). On suppose connus tous les résultats concernant
les triplets (G, ˜
G, a) qui vérifient les deux conditions suivantes :
– ils sont quasi-déployés et à torsion intérieure ou ils font partie des triplets
particuliers de [III] 6.2 ;
– on a dim(G SC ) = N (G 1 , G 2 , j ∗ ).
VI.5.9 La formule stable
Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Soit V un ensemble
fini de places contenant V ram . On note ˜
G ss (F V )/ st-conj l’ensemble des classes de
conjugaison stable semi-simples dans ˜
G(F V ). Pour f ∈ SI( ˜
G(F V )) ⊗ Mes(G(F V )),
on pose
S
˜
G
g´ eom (f ) =
˜
M ∈L( ˜
M0)
|W
M
||W
G
|
−1
O∈ ˜
Mss(FV )/ st-conj
S
˜
G
˜
M
(SA
˜
M (O, V ), f ).
Lemme. Cette somme est finie.
Preuve. On peut évidemment fixer ˜
M . En utilisant 5.3(1) et le lemme 4.3, on voit
qu’il existe un sous-ensemble compact ˜
C V de ˜
M (F V ) tel que, si
S
˜
G
˜
M
(SA
˜
M (O, V ), f ) = 0,
alors O coupe ˜
C V . Il reste à prouver
(1) il n’y a qu’un nombre fini de O ∈ ˜
M ss (F V )/ st-conj tels que SA
˜
M (O, V ) = 0
et O coupe ˜
C V .
On peut aussi bien supposer ˜
M = ˜
G. On utilise la définition de 5.2. Si
SA
˜
G (O, V ) = 0, alors A
˜
G (O, V ) = 0 ou il existe G
∈ E( ˜
G, V ), avec G
= G,
tel que SA
G
(O ˜
G , V ) = 0. Dans le premier cas, il existe γ ∈ ˜
G ss (F ) dont la
projection dans ˜
G(F V ) appartient à O et tel que, pour tout v ∈ V , γ soit conjugué
à un élément de ˜
K v par un élément de G(F v ). En imposant la condition que O
coupe ˜
C V , l’ensemble de ces γ forme un nombre fini de classes de conjugaison
par G(F ) (lemme 2.1). A fortiori l’ensemble des classes de conjugaison stable O
contenant un tel élément est fini. Dans le deuxième cas, le compact ˜
C V détermine
un compact ˜
C V, ˜
G de ˜
G
(F V ) tel que la condition que O coupe ˜
C V entraîne que O ˜
G
coupe ˜
C V, ˜
G . Puisque G
= G, on peut appliquer (1) par récurrence : l’ensemble
des O ˜
G ∈ ˜
G
ss (F V )/ st-conj tels que SA
G
(O ˜
G , V ) = 0 et O ˜
G coupe ˜
C V, ˜
G est
fini. L’ensemble des classes O qui leur correspondent l’est aussi.
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
5.6 pour tout triplet (G
1 , G
2 , j
∗ ) tel que N (G
1 , G
2 , j
∗ ) < N(G 1 , G 2 , j ∗ ). On suppose connus tous les résultats concernant les triplets (G, ˜
G, a) quelconques tels
que dim(G SC ) < N(G 1 , G 2 , j ∗ ). On suppose connus tous les résultats concernant
les triplets (G, ˜
G, a) qui vérifient les deux conditions suivantes :
– ils sont quasi-déployés et à torsion intérieure ou ils font partie des triplets
particuliers de [III] 6.2 ;
– on a dim(G SC ) = N (G 1 , G 2 , j ∗ ).
VI.5.9 La formule stable
Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Soit V un ensemble
fini de places contenant V ram . On note ˜
G ss (F V )/ st-conj l’ensemble des classes de
conjugaison stable semi-simples dans ˜
G(F V ). Pour f ∈ SI( ˜
G(F V )) ⊗ Mes(G(F V )),
on pose
S
˜
G
g´ eom (f ) =
˜
M ∈L( ˜
M0)
|W
M
||W
G
|
−1
O∈ ˜
Mss(FV )/ st-conj
S
˜
G
˜
M
(SA
˜
M (O, V ), f ).
Lemme. Cette somme est finie.
Preuve. On peut évidemment fixer ˜
M . En utilisant 5.3(1) et le lemme 4.3, on voit
qu’il existe un sous-ensemble compact ˜
C V de ˜
M (F V ) tel que, si
S
˜
G
˜
M
(SA
˜
M (O, V ), f ) = 0,
alors O coupe ˜
C V . Il reste à prouver
(1) il n’y a qu’un nombre fini de O ∈ ˜
M ss (F V )/ st-conj tels que SA
˜
M (O, V ) = 0
et O coupe ˜
C V .
On peut aussi bien supposer ˜
M = ˜
G. On utilise la définition de 5.2. Si
SA
˜
G (O, V ) = 0, alors A
˜
G (O, V ) = 0 ou il existe G
∈ E( ˜
G, V ), avec G
= G,
tel que SA
G
(O ˜
G , V ) = 0. Dans le premier cas, il existe γ ∈ ˜
G ss (F ) dont la
projection dans ˜
G(F V ) appartient à O et tel que, pour tout v ∈ V , γ soit conjugué
à un élément de ˜
K v par un élément de G(F v ). En imposant la condition que O
coupe ˜
C V , l’ensemble de ces γ forme un nombre fini de classes de conjugaison
par G(F ) (lemme 2.1). A fortiori l’ensemble des classes de conjugaison stable O
contenant un tel élément est fini. Dans le deuxième cas, le compact ˜
C V détermine
un compact ˜
C V, ˜
G de ˜
G
(F V ) tel que la condition que O coupe ˜
C V entraîne que O ˜
G
coupe ˜
C V, ˜
G . Puisque G
= G, on peut appliquer (1) par récurrence : l’ensemble
des O ˜
G ∈ ˜
G
ss (F V )/ st-conj tels que SA
G
(O ˜
G , V ) = 0 et O ˜
G coupe ˜
C V, ˜
G est
fini. L’ensemble des classes O qui leur correspondent l’est aussi.