VI.5. La formule des traces stable
703
Par définition, on a
(6)
I
G (A
G
unip (V ), f
bV
V )
= J
G
unip ( ˙
f
bV ) −
M∈L(M0),M =G
|W
M
||W
G
|
−1 J
G
M (A
M
unip (V ), f
bV
V ).
En appliquant (5), le premier terme devient J
G
unip ( ˙
f ). Soit M un Levi tel que
M = G. On est dans la situation où le lemme 1.14 s’applique. Ce lemme est énoncé
pour les intégrales orbitales pondérées invariantes, mais sa preuve s’applique aussi
bien à leurs versions non invariantes. D’où
J
G
M (A
M
unip (V ), f
bV
V ) = J
G
M (A
M
unip (V ), B, f
bV
V ).
En appliquant (4), on obtient
J
G
M (A
M
unip (V ), f
bV
V ) = J
G
M (A
M
unip (V )
bV , f V ).
En raisonnant comme toujours par récurrence, on peut supposer l’analogue de (2)
connu si l’on remplace G par M . Cette relation équivaut à l’égalité A
M
unip (V )
bV =
A
M
unip (V ). D’où encore
J
G
M (A
M
unip (V ), f
bV
V ) = J
G
M (A
M
unip (V ), f V ).
Mais alors le membre de droite de (6) est égal à la même expression où (f V )
bV est
remplacée par f V . D’où l’égalité
I
G (A
G
unip (V ), f
bV
V ) = I
G (A
G
unip (V ), f V ),
c’est-à-dire (2). Cela achève la démonstration.
VI.5.8 Insertion du théorème 5.6 dans les hypothèses de récurrence
En [III] 6.1, on a associé un entier N (G 1 , G 2 , j ∗ ) à tout triplet endoscopique non
standard (G 1 , G 2 , j ∗ ). On a aussi défini des triplets particuliers (G, ˜
G, a) en [III]
6.2. Les constructions de cette référence valent sur notre corps de nombres F .
Les hypothèses de récurrence posées en 1.1 doivent être complétées de la façon suivante. Pour démontrer une assertion concernant un triplet (G, ˜
G, a) quasidéployé et à torsion intérieure, on ne se soucie pas du théorème 5.6 qu’on n’utilisera
pas dans ce cas. Pour démontrer une assertion concernant l’un des triplets particuliers (G, ˜
G, a) de [III] 6.2, on suppose connu le théorème 5.6 pour tout triplet
(G 1 , G 2 , j ∗ ) tel que N (G 1 , G 2 , j ∗ ) < dim(G SC ). Pour démontrer une assertion
concernant un triplet (G, ˜
G, a) qui n’est pas l’un de ces triplets particuliers et qui
n’est pas quasi-déployé et à torsion intérieure, on suppose connu le théorème 5.6
pour tout triplet (G 1 , G 2 , j ∗ ) tel que N (G 1 , G 2 , j ∗ ) ≤ dim(G SC ). Pour démontrer
une assertion concernant un triplet (G 1 , G 2 , j ∗ ), on suppose connu le théorème
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Par définition, on a
(6)
I
G (A
G
unip (V ), f
bV
V )
= J
G
unip ( ˙
f
bV ) −
M∈L(M0),M =G
|W
M
||W
G
|
−1 J
G
M (A
M
unip (V ), f
bV
V ).
En appliquant (5), le premier terme devient J
G
unip ( ˙
f ). Soit M un Levi tel que
M = G. On est dans la situation où le lemme 1.14 s’applique. Ce lemme est énoncé
pour les intégrales orbitales pondérées invariantes, mais sa preuve s’applique aussi
bien à leurs versions non invariantes. D’où
J
G
M (A
M
unip (V ), f
bV
V ) = J
G
M (A
M
unip (V ), B, f
bV
V ).
En appliquant (4), on obtient
J
G
M (A
M
unip (V ), f
bV
V ) = J
G
M (A
M
unip (V )
bV , f V ).
En raisonnant comme toujours par récurrence, on peut supposer l’analogue de (2)
connu si l’on remplace G par M . Cette relation équivaut à l’égalité A
M
unip (V )
bV =
A
M
unip (V ). D’où encore
J
G
M (A
M
unip (V ), f
bV
V ) = J
G
M (A
M
unip (V ), f V ).
Mais alors le membre de droite de (6) est égal à la même expression où (f V )
bV est
remplacée par f V . D’où l’égalité
I
G (A
G
unip (V ), f
bV
V ) = I
G (A
G
unip (V ), f V ),
c’est-à-dire (2). Cela achève la démonstration.
VI.5.8 Insertion du théorème 5.6 dans les hypothèses de récurrence
En [III] 6.1, on a associé un entier N (G 1 , G 2 , j ∗ ) à tout triplet endoscopique non
standard (G 1 , G 2 , j ∗ ). On a aussi défini des triplets particuliers (G, ˜
G, a) en [III]
6.2. Les constructions de cette référence valent sur notre corps de nombres F .
Les hypothèses de récurrence posées en 1.1 doivent être complétées de la façon suivante. Pour démontrer une assertion concernant un triplet (G, ˜
G, a) quasidéployé et à torsion intérieure, on ne se soucie pas du théorème 5.6 qu’on n’utilisera
pas dans ce cas. Pour démontrer une assertion concernant l’un des triplets particuliers (G, ˜
G, a) de [III] 6.2, on suppose connu le théorème 5.6 pour tout triplet
(G 1 , G 2 , j ∗ ) tel que N (G 1 , G 2 , j ∗ ) < dim(G SC ). Pour démontrer une assertion
concernant un triplet (G, ˜
G, a) qui n’est pas l’un de ces triplets particuliers et qui
n’est pas quasi-déployé et à torsion intérieure, on suppose connu le théorème 5.6
pour tout triplet (G 1 , G 2 , j ∗ ) tel que N (G 1 , G 2 , j ∗ ) ≤ dim(G SC ). Pour démontrer
une assertion concernant un triplet (G 1 , G 2 , j ∗ ), on suppose connu le théorème