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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
où P unip et M unip sont les ensembles d’éléments unipotents dans P et M . En
introduisant l’ensemble m nil des éléments nilpotents de m, on a
K P,unip ( ˙
f
bV , g) =
UP (AF )
X∈m nil (F )
˙
f
bV (g
−1 exp(X)ug) du.
On descend aisément l’intégrale à l’algèbre de Lie et on obtient
K P,unip ( ˙
f
bV , g) =
uP (AF )
X∈m nil (F )
˙
f
bV (g
−1 exp(X + N )g) dN.
Puisque b ∈ Q
× , on peut remplacer X par b
−1 X et N par b
−1 N . En décomposant
les intégrales selon les places dans v et celles hors de V , on obtient
K P,unip ( ˙
f
bV , g) =
X∈m nil (F )
C V (f
bV
V , b
−1 X)C
V (1 K V , b
−1 X),
où
C V (f
bV
V , b
−1 X) =
uP (FV )
f
bV
V (g
−1 (b
−1 X + b
−1 N )g) dN
et
C
V (1 K V , b
−1 X) =
uP (A V
F )
1 K V (g
−1 exp(b
−1 X + b
−1 N )g) dN.
Il résulte de la définition de (f V )
bV que l’on a l’égalité
C V (f
bV
V , b
−1 X) = C V (f V , X).
Si v est une place hors de V , on a v ∈ V ram et la caractéristique résiduelle est
«grande». Cela assure la propriété suivante. Notons o v l’anneau des entiers de F v .
Au groupe hyperspécial K v de G(F v ) est associé une o v -algèbre de Lie k v . Alors,
pour tout élément nilpotent N ∈ g(F v ), on a exp(N ) ∈ K v si et seulement si
N ∈ k v . Puisque b est une unité en v, on a alors l’égalité
1 Kv (g
−1 exp(b
−1 X + b
−1 N )g) = 1 Kv (g
−1 exp(X + N )g)
pour tous X, N , g intervenant ci-dessus. D’où l’égalité
C
V (1 K V , b
−1 X) = C
V (1 K V , X),
puis
K P,unip ( ˙
f
bV , g) =
X∈m nil (F )
C V (f V , X)C
V (1 K V , X).
A partir de là, le même calcul que ci-dessus, en sens inverse, conduit à l’égalité
K P,unip ( ˙
f
bV , g) = K P,unip ( ˙
f , g)
cherchée. D’où (5).