VI.5. La formule des traces stable
701
Commençons par (3). Soit G
∈ E(G, V ) avec G
= G. Puisqu’on travaille
ici avec des algèbres de Lie, les données auxiliaires ne jouent guère de rôle et on
peut identifier f
G
à une fonction f
G
sur g
(F V ). D’après [34] lemme 3.2.1, il
existe un caractère automorphe χ de A
×
F /F
× tel que (f
λ )
G
= χ(λ)(f
G
)
λ pour
tout λ ∈ F
×
V . Le fait que G
soit non ramifié hors de V et la définition de ce
caractère χ entraînent que χ est non ramifié hors de V . Donc, en notant b V et
b
V les projections de b dans F
×
V et A
V,×
F , on a χ(b V ) = χ(b
V )
−1 = 1. D’où
(f
b )
G
= (f
G
)
b . Puisque G
= G, on peut appliquer (1) par récurrence en y
remplaçant G par G
. On obtient alors la relation (3).
Pour prouver (2), introduisons sur D orb (g(F V )) l’action duale de l’homothétie
de rapport b. C’est-à-dire que, pour γ ∈ D orb (g(F V )), on note γ
b la distribution
telle que I
G (γ, f
b ) = I
G (γ
b , f) pour tout f . Si γ est l’intégrale orbitale associée
à un élément X ∈ g(F V ) et à une mesure sur G X (F V ), γ
b est l’intégrale orbitale
associée à l’élément bX et à la même mesure sur G bX (F V ) = G X (F V ). Introduisons
le système de fonctions B sur G ainsi défini : pour tout élément semi-simple η ∈ G
et toute élément α du système de racines de G η , B η (α) = b
−1 . Soient M un Levi
standard de G et γ ∈ D orb (m(F V )). Montrons que l’on a l’égalité
(4) J
G
M (γ, B, f
b ) = J
G
M (γ
b , f) pour tout f .
Les formules de descente habituelles nous ramènent au cas local. C’est alors
l’assertion [III] 6.7(5). Le corps local était non-archimédien dans cette référence,
mais cela n’importait pas pour cette assertion.
Revenons à la définition de A
G
unip (V ). Dans l’égalité (2) à prouver, f est
une fonction sur g(F V ). Notons-la plutôt f V et notons comme ci-dessus b V la
projection de b dans F V . La fonction notée précédemment f
b s’écrit maintenant
(f V )
bV . Par l’exponentielle, on relève ces deux fonctions en des fonctions définies
sur un voisinage de 1 dans G(F V ) invariant par conjugaison. On continue de noter
ces fonctions f V et (f V )
bV . On les complète globalement en des fonctions ˙
f =
1 K V ⊗ f V , ˙
f
bV = 1 K V ⊗ (f V )
bV . Montrons que l’on a l’égalité
(5)
J
G
unip ( ˙
f
bV ) = J
G
unip ( ˙
f ).
D’après les définitions de 2.1, il suffit de fixer un sous-groupe parabolique
standard P = M U P de G et de prouver l’égalité
K P,unip ( ˙
f
bV , g) = K P,unip ( ˙
f , g)
pour tout g ∈ G(A F ). Rappelons que
K P,unip ( ˙
f
bV , g) =
UP (F )\UP (AF )
γ∈Punip(F )
˙
f
bV (g
−1 γug) du
=
UP (AF )
γ∈Munip(F )
˙
f
bV (g
−1 γug) du,
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Commençons par (3). Soit G
∈ E(G, V ) avec G
= G. Puisqu’on travaille
ici avec des algèbres de Lie, les données auxiliaires ne jouent guère de rôle et on
peut identifier f
G
à une fonction f
G
sur g
(F V ). D’après [34] lemme 3.2.1, il
existe un caractère automorphe χ de A
×
F /F
× tel que (f
λ )
G
= χ(λ)(f
G
)
λ pour
tout λ ∈ F
×
V . Le fait que G
soit non ramifié hors de V et la définition de ce
caractère χ entraînent que χ est non ramifié hors de V . Donc, en notant b V et
b
V les projections de b dans F
×
V et A
V,×
F , on a χ(b V ) = χ(b
V )
−1 = 1. D’où
(f
b )
G
= (f
G
)
b . Puisque G
= G, on peut appliquer (1) par récurrence en y
remplaçant G par G
. On obtient alors la relation (3).
Pour prouver (2), introduisons sur D orb (g(F V )) l’action duale de l’homothétie
de rapport b. C’est-à-dire que, pour γ ∈ D orb (g(F V )), on note γ
b la distribution
telle que I
G (γ, f
b ) = I
G (γ
b , f) pour tout f . Si γ est l’intégrale orbitale associée
à un élément X ∈ g(F V ) et à une mesure sur G X (F V ), γ
b est l’intégrale orbitale
associée à l’élément bX et à la même mesure sur G bX (F V ) = G X (F V ). Introduisons
le système de fonctions B sur G ainsi défini : pour tout élément semi-simple η ∈ G
et toute élément α du système de racines de G η , B η (α) = b
−1 . Soient M un Levi
standard de G et γ ∈ D orb (m(F V )). Montrons que l’on a l’égalité
(4) J
G
M (γ, B, f
b ) = J
G
M (γ
b , f) pour tout f .
Les formules de descente habituelles nous ramènent au cas local. C’est alors
l’assertion [III] 6.7(5). Le corps local était non-archimédien dans cette référence,
mais cela n’importait pas pour cette assertion.
Revenons à la définition de A
G
unip (V ). Dans l’égalité (2) à prouver, f est
une fonction sur g(F V ). Notons-la plutôt f V et notons comme ci-dessus b V la
projection de b dans F V . La fonction notée précédemment f
b s’écrit maintenant
(f V )
bV . Par l’exponentielle, on relève ces deux fonctions en des fonctions définies
sur un voisinage de 1 dans G(F V ) invariant par conjugaison. On continue de noter
ces fonctions f V et (f V )
bV . On les complète globalement en des fonctions ˙
f =
1 K V ⊗ f V , ˙
f
bV = 1 K V ⊗ (f V )
bV . Montrons que l’on a l’égalité
(5)
J
G
unip ( ˙
f
bV ) = J
G
unip ( ˙
f ).
D’après les définitions de 2.1, il suffit de fixer un sous-groupe parabolique
standard P = M U P de G et de prouver l’égalité
K P,unip ( ˙
f
bV , g) = K P,unip ( ˙
f , g)
pour tout g ∈ G(A F ). Rappelons que
K P,unip ( ˙
f
bV , g) =
UP (F )\UP (AF )
γ∈Punip(F )
˙
f
bV (g
−1 γug) du
=
UP (AF )
γ∈Munip(F )
˙
f
bV (g
−1 γug) du,