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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
VI.5.7 Réduction du théorème 5.6
On considère un triplet endoscopique non standard (G 1 , G 2 , j ∗ ) et un rationnel
b = 0. Soit V un ensemble fini de places de F vérifiant les conditions du paragraphe
précédent pour (G 1 , G 2 , j ∗ ). On suppose que b est une unité hors de V . Alors V
vérifie aussi ces conditions pour le triplet (G 1 , G 2 , bj ∗ ).
Lemme. Sous ces hypothèses, si le théorème 5.5 est vérifié pour le triplet
(G 1 , G 2 , j ∗ ), il l’est pour le triplet (G 1 , G 2 , bj ∗ ).
Preuve. Il y a deux correspondances entre classes de conjugaison stable semisimples dans g 1 (F V ) et g 2 (F V ), qui sont déduites de j ∗ et de bj ∗ . Il est clair que
la seconde est la composée de la première et de la correspondance entre classes de
conjugaison stable semi-simples dans g 2 (F V ) déduite de l’homothétie X → bX. Il
y a deux isomorphismes
SI(g 1 (F V )) ⊗ Mes(G 1 (F V )) SI(g 2 (F V )) ⊗ Mes(G 2 (F V )),
qui sont déduits de j ∗ et de bj ∗ . Le second est le composé du premier et de l’automorphisme de SI(g 2 (F V )) ⊗ Mes(G 2 (F V )) déduit de l’homothétie X → bX.
Puisque b est une unité hors de V , on a
v∈V |b| Fv = 1, d’où D
˜
G2 (bX) = D
˜
G2 (X)
pour tout X ∈ g 2 (F V ). De même, si X est fortement régulier, la multiplication par b préserve les mesures sur s(F V ), où S est le commutant de X. On
voit alors que l’automorphisme ci-dessus de SI(g 2 (F V )) ⊗ Mes(G 2 (F V )) est déduit de l’automorphisme f → f
b
−1 de C
∞
c (g 2 (F V )), où f
b
−1 (X) = f (b
−1 X). On
note encore f → f
b
−1 cet automorphisme de SI(g 2 (F V )) ⊗ Mes(G 2 (F V )). Soient
f 1 ∈ SI(g 1 (F V )) ⊗ Mes(G 1 (F V )) et f 2 ∈ SI(g 2 (F V )) ⊗ Mes(G 2 (F V )) se correspondant par l’isomorphisme déduit de j ∗ . Le théorème pour (G 1 , G 2 , j ∗ ) affirme que
S
G1 (SA
G1
unip (V ), f 1 ) = S
G2 (SA
G2
unip (V ), f 2 ). Le théorème pour (G 1 , G 2 , bj ∗ ) affirme
que S
G1 (SA
G1
unip (V ), f 1 ) = S
G2 (SA
G2
unip (V ), f
b
−1
2 ).
Pour démontrer que ces assertions ont équivalentes, il suffit de prouver que
S
G2 (SA
G2
unip (V ), f 2 ) = S
G2 (SA
G2
unip (V ), f
b
−1
2 ). Seul le groupe G 2 intervient ici. On
peut simplifier la notation en posant G = G 2 et en supprimant les indices 2.
Toujours pour simplifier, on peut remplacer b par b
−1 et fixer des mesures de
Haar sur les groupes intervenant, ce qui nous débarrasse des espaces de mesures.
Puisque l’automorphisme f → f
b se relève évidemment en un automorphisme de
I(g(F V )) ⊗ Mes(G(F V )), on peut démontrer la relation
(1) I
G (SA
G
unip (V ), f) = I
G (SA
G
unip (V ), f
b ) pour tout f ∈ I(g(F V )).
En utilisant la définition de 5.2, on est ramené à prouver
(2) I
G (A
G
unip (V ), f) = I
G (A
G
unip (V ), f
b ),
et, pour tout G
∈ E(G, V ) avec G
= G,
(3) I
G
(SA
G
unip (V ), f
G
) = I
G
(SA
G
unip (V ), (f
b )
G
).
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
VI.5.7 Réduction du théorème 5.6
On considère un triplet endoscopique non standard (G 1 , G 2 , j ∗ ) et un rationnel
b = 0. Soit V un ensemble fini de places de F vérifiant les conditions du paragraphe
précédent pour (G 1 , G 2 , j ∗ ). On suppose que b est une unité hors de V . Alors V
vérifie aussi ces conditions pour le triplet (G 1 , G 2 , bj ∗ ).
Lemme. Sous ces hypothèses, si le théorème 5.5 est vérifié pour le triplet
(G 1 , G 2 , j ∗ ), il l’est pour le triplet (G 1 , G 2 , bj ∗ ).
Preuve. Il y a deux correspondances entre classes de conjugaison stable semisimples dans g 1 (F V ) et g 2 (F V ), qui sont déduites de j ∗ et de bj ∗ . Il est clair que
la seconde est la composée de la première et de la correspondance entre classes de
conjugaison stable semi-simples dans g 2 (F V ) déduite de l’homothétie X → bX. Il
y a deux isomorphismes
SI(g 1 (F V )) ⊗ Mes(G 1 (F V )) SI(g 2 (F V )) ⊗ Mes(G 2 (F V )),
qui sont déduits de j ∗ et de bj ∗ . Le second est le composé du premier et de l’automorphisme de SI(g 2 (F V )) ⊗ Mes(G 2 (F V )) déduit de l’homothétie X → bX.
Puisque b est une unité hors de V , on a
v∈V |b| Fv = 1, d’où D
˜
G2 (bX) = D
˜
G2 (X)
pour tout X ∈ g 2 (F V ). De même, si X est fortement régulier, la multiplication par b préserve les mesures sur s(F V ), où S est le commutant de X. On
voit alors que l’automorphisme ci-dessus de SI(g 2 (F V )) ⊗ Mes(G 2 (F V )) est déduit de l’automorphisme f → f
b
−1 de C
∞
c (g 2 (F V )), où f
b
−1 (X) = f (b
−1 X). On
note encore f → f
b
−1 cet automorphisme de SI(g 2 (F V )) ⊗ Mes(G 2 (F V )). Soient
f 1 ∈ SI(g 1 (F V )) ⊗ Mes(G 1 (F V )) et f 2 ∈ SI(g 2 (F V )) ⊗ Mes(G 2 (F V )) se correspondant par l’isomorphisme déduit de j ∗ . Le théorème pour (G 1 , G 2 , j ∗ ) affirme que
S
G1 (SA
G1
unip (V ), f 1 ) = S
G2 (SA
G2
unip (V ), f 2 ). Le théorème pour (G 1 , G 2 , bj ∗ ) affirme
que S
G1 (SA
G1
unip (V ), f 1 ) = S
G2 (SA
G2
unip (V ), f
b
−1
2 ).
Pour démontrer que ces assertions ont équivalentes, il suffit de prouver que
S
G2 (SA
G2
unip (V ), f 2 ) = S
G2 (SA
G2
unip (V ), f
b
−1
2 ). Seul le groupe G 2 intervient ici. On
peut simplifier la notation en posant G = G 2 et en supprimant les indices 2.
Toujours pour simplifier, on peut remplacer b par b
−1 et fixer des mesures de
Haar sur les groupes intervenant, ce qui nous débarrasse des espaces de mesures.
Puisque l’automorphisme f → f
b se relève évidemment en un automorphisme de
I(g(F V )) ⊗ Mes(G(F V )), on peut démontrer la relation
(1) I
G (SA
G
unip (V ), f) = I
G (SA
G
unip (V ), f
b ) pour tout f ∈ I(g(F V )).
En utilisant la définition de 5.2, on est ramené à prouver
(2) I
G (A
G
unip (V ), f) = I
G (A
G
unip (V ), f
b ),
et, pour tout G
∈ E(G, V ) avec G
= G,
(3) I
G
(SA
G
unip (V ), f
G
) = I
G
(SA
G
unip (V ), (f
b )
G
).