VI.5. La formule des traces stable
699
– V contient les places archimédiennes de F ;
– G 1 et G 2 sont non ramifiés hors de V ;
– pour v ∈ V , notons p la caractéristique résiduelle de F v et e v = [F v : Q p ] ;
alors p > e v N (G i ) + 1 pour i = 1, 2, où N (G i ) est l’entier défini en [79] 4.3 ;
– les valeurs de la fonction b sont des unités hors de V .
Pour i = 1, 2, on a défini en 5.2 la distribution SA
Gi (V, O) associée à une
classe de conjugaison stable semi-simple O ⊂ G i (F V ). On considère ici le cas
O = {1} et on note plutôt SA
Gi
unip (V ) la distribution associée à cette classe. On
est ici dans le cas non tordu, cette distribution est relative à des sous-groupes
compacts hyperspéciaux K i,v de G i (F v ) pour v ∈ V . D’après le théorème d’Arthur
cité en 5.5, la condition 5.2(1) est vérifiée. Puisque deux sous-groupes compacts
hyperspéciaux de G i (F v ) sont toujours conjugués par G i,AD (F v ), la distribution
SA
Gi
unip (V ) ne dépend pas de ces choix. D’après le même théorème, elle est stable.
On sait qu’elle est à support dans l’ensemble des éléments unipotents de G i (F V ).
Par l’exponentielle, on la descend en une distribution à support nilpotent sur
g i (F V ), qui est encore stable. Cela l’identifie à un élément de D
st
g´ eom (g 1 (F V )) ⊗
Mes(G 1 (F V ))
∗ .
Théorème (à prouver). Sous ces hypothèses et modulo les identifications ci-dessus,
les distributions SA
G1
unip (V ) et SA
G2
unip (V ) se correspondent par le produit tensoriel
sur les v ∈ V des isomorphismes (5).
Cela sera prouvé en VII.9.
Considérons deux triplets endoscopiques non standard
(G 1 , G 2 , j ∗ ) et (G
1 , G
2 , j
∗ ).
On dit qu’ils sont équivalents si et seulement s’il existe des isomorphismes ι i :
G i → G
i définis sur F et un rationnel b non nul de sorte que le diagramme suivant
soit commutatif
X 1,∗,Q
j∗
→ X 2,∗,Q
ι 1 ↓
↓ι 2
X
1,∗,Q
bj
∗
→ X
2,∗,Q .
Comme dans le cas local, on peut classifier tous les triplets possibles. Tout triplet
endoscopique non standard (G 1 , G 2 , j ∗ ) est produit de triplets dont chacun est
équivalent à un triplet quasi-élémentaire, cf. [III] 6.1. Evidemment, si un triplet
est produit de deux triplets, le thèorème pour chacun de ces deux triplets implique
celui pour le produit. On verra au paragraphe suivant que le théorème est insensible
à une équivalence. Il suffit donc de le démontrer pour un triplet quasi-élémentaire.
Remarquons que le théorème est tautologique dans le cas (1) de [III] 6.1, c’est-àdire si G 1 = G 2 et j ∗ est l’identité.
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– V contient les places archimédiennes de F ;
– G 1 et G 2 sont non ramifiés hors de V ;
– pour v ∈ V , notons p la caractéristique résiduelle de F v et e v = [F v : Q p ] ;
alors p > e v N (G i ) + 1 pour i = 1, 2, où N (G i ) est l’entier défini en [79] 4.3 ;
– les valeurs de la fonction b sont des unités hors de V .
Pour i = 1, 2, on a défini en 5.2 la distribution SA
Gi (V, O) associée à une
classe de conjugaison stable semi-simple O ⊂ G i (F V ). On considère ici le cas
O = {1} et on note plutôt SA
Gi
unip (V ) la distribution associée à cette classe. On
est ici dans le cas non tordu, cette distribution est relative à des sous-groupes
compacts hyperspéciaux K i,v de G i (F v ) pour v ∈ V . D’après le théorème d’Arthur
cité en 5.5, la condition 5.2(1) est vérifiée. Puisque deux sous-groupes compacts
hyperspéciaux de G i (F v ) sont toujours conjugués par G i,AD (F v ), la distribution
SA
Gi
unip (V ) ne dépend pas de ces choix. D’après le même théorème, elle est stable.
On sait qu’elle est à support dans l’ensemble des éléments unipotents de G i (F V ).
Par l’exponentielle, on la descend en une distribution à support nilpotent sur
g i (F V ), qui est encore stable. Cela l’identifie à un élément de D
st
g´ eom (g 1 (F V )) ⊗
Mes(G 1 (F V ))
∗ .
Théorème (à prouver). Sous ces hypothèses et modulo les identifications ci-dessus,
les distributions SA
G1
unip (V ) et SA
G2
unip (V ) se correspondent par le produit tensoriel
sur les v ∈ V des isomorphismes (5).
Cela sera prouvé en VII.9.
Considérons deux triplets endoscopiques non standard
(G 1 , G 2 , j ∗ ) et (G
1 , G
2 , j
∗ ).
On dit qu’ils sont équivalents si et seulement s’il existe des isomorphismes ι i :
G i → G
i définis sur F et un rationnel b non nul de sorte que le diagramme suivant
soit commutatif
X 1,∗,Q
j∗
→ X 2,∗,Q
ι 1 ↓
↓ι 2
X
1,∗,Q
bj
∗
→ X
2,∗,Q .
Comme dans le cas local, on peut classifier tous les triplets possibles. Tout triplet
endoscopique non standard (G 1 , G 2 , j ∗ ) est produit de triplets dont chacun est
équivalent à un triplet quasi-élémentaire, cf. [III] 6.1. Evidemment, si un triplet
est produit de deux triplets, le thèorème pour chacun de ces deux triplets implique
celui pour le produit. On verra au paragraphe suivant que le théorème est insensible
à une équivalence. Il suffit donc de le démontrer pour un triplet quasi-élémentaire.
Remarquons que le théorème est tautologique dans le cas (1) de [III] 6.1, c’est-àdire si G 1 = G 2 et j ∗ est l’identité.