698
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
Remarquons que τ et b sont uniquement déterminés par ces conditions. Les
groupes de Weyl W 1 et W 2 de G 1 et G 2 s’identifient, la symétrie relative à une
racine α 2 ∈ Σ 2 s’identifiant à celle relative à τ (α 2 ). Soit v une place de F . Alors
j ∗ définit un isomorphisme
((t 1 ( ¯
F v ) ∩ g 1,reg ( ¯
F v ))/W 1 )
ΓF v → ((t 2 ( ¯
F v ) ∩ g 2,reg ( ¯
F v ))/W 2 )
ΓF v .
Autrement dit une bijection entre classes de conjugaison stable d’éléments semisimples réguliers dans g 1 (F v ) et g 2 (F v ). Pour X 1 ∈ g 2,reg (F v ) et X 2 ∈ g 2,reg (F v )
dont les classes de conjugaison stable se correspondent, notons S 1 et S 2 leurs
commutants dans G 1 et G 2 . L’isomorphisme j ∗ définit un isomorphisme s 1 (F v ) →
s 2 (F v ). On munit ces algèbres de mesures de Haar se correspondant par cet isomorphisme. Pour i = 1, 2, on munit S i (F v ) de la mesure de Haar telle que le jacobien
de l’exponentielle vaille 1 au point 0 ∈ s i (F v ). On dispose alors de l’intégrale
orbitale
f i ⊗ dg i → I
Gi (X i , f i ⊗ dg i ) = D
Gi (X i )
1/2
Si(Fv)\Gi(Fv )
f i (ad g
−1
i
(X i )) dg i
sur C
∞
c (g i (F v )) ⊗ Mes(G i (F v )), puis de l’intégrale orbitale stable
f i ⊗ dg i → S
Gi (X i , f i ⊗ dg i ).
Disons que f 1 ⊗ dg 1 et f 2 ⊗ dg 2 se correspondent si et seulement si
S
G1 (X 1 , f 1 ⊗ dg 1 ) = S
G2 (X 2 , f 2 ⊗ dg 2 )
pour tout couple (X 1 , X 2 ) comme ci-dessus. On a
(4) cette correspondance se quotiente en un isomorphisme
SI(g 1 (F v )) ⊗ Mes(G 1 (F v )) SI(g 2 (F v )) ⊗ Mes(G 2 (F v )).
Si v est finie, c’est la proposition 1.8(ii) de [79]. Le cas complexe se ramène
au cas réel en remplaçant les groupes complexes par les groupes sur R obtenus par
restriction des scalaires. Le cas réel se déduit facilement des résultats de Shelstad
comme on l’a vu en [V] 5.1.
Dualement, on en déduit un isomorphisme
D
st
g´ eom (g 1 (F v )) ⊗ Mes(G 1 (F v ))
∗
D
st
g´ eom (g 2 (F v )) ⊗ Mes(G 2 (F v ))
∗ .
Pour i = 1, 2, notons D
st
nil (g i (F v )) le sous-espace des éléments de D
st
g´ eom (g i (F v )) à
support nilpotent. L’isomorphisme ci-dessus se restreint en un isomorphisme
(5)
D
st
nil (g 1 (F v )) ⊗ Mes(G 1 (F v ))
∗
D
st
nil (g 2 (F v )) ⊗ Mes(G 2 (F v ))
∗ .
Soit V un ensemble fini de places de F tel que
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
Remarquons que τ et b sont uniquement déterminés par ces conditions. Les
groupes de Weyl W 1 et W 2 de G 1 et G 2 s’identifient, la symétrie relative à une
racine α 2 ∈ Σ 2 s’identifiant à celle relative à τ (α 2 ). Soit v une place de F . Alors
j ∗ définit un isomorphisme
((t 1 ( ¯
F v ) ∩ g 1,reg ( ¯
F v ))/W 1 )
ΓF v → ((t 2 ( ¯
F v ) ∩ g 2,reg ( ¯
F v ))/W 2 )
ΓF v .
Autrement dit une bijection entre classes de conjugaison stable d’éléments semisimples réguliers dans g 1 (F v ) et g 2 (F v ). Pour X 1 ∈ g 2,reg (F v ) et X 2 ∈ g 2,reg (F v )
dont les classes de conjugaison stable se correspondent, notons S 1 et S 2 leurs
commutants dans G 1 et G 2 . L’isomorphisme j ∗ définit un isomorphisme s 1 (F v ) →
s 2 (F v ). On munit ces algèbres de mesures de Haar se correspondant par cet isomorphisme. Pour i = 1, 2, on munit S i (F v ) de la mesure de Haar telle que le jacobien
de l’exponentielle vaille 1 au point 0 ∈ s i (F v ). On dispose alors de l’intégrale
orbitale
f i ⊗ dg i → I
Gi (X i , f i ⊗ dg i ) = D
Gi (X i )
1/2
Si(Fv)\Gi(Fv )
f i (ad g
−1
i
(X i )) dg i
sur C
∞
c (g i (F v )) ⊗ Mes(G i (F v )), puis de l’intégrale orbitale stable
f i ⊗ dg i → S
Gi (X i , f i ⊗ dg i ).
Disons que f 1 ⊗ dg 1 et f 2 ⊗ dg 2 se correspondent si et seulement si
S
G1 (X 1 , f 1 ⊗ dg 1 ) = S
G2 (X 2 , f 2 ⊗ dg 2 )
pour tout couple (X 1 , X 2 ) comme ci-dessus. On a
(4) cette correspondance se quotiente en un isomorphisme
SI(g 1 (F v )) ⊗ Mes(G 1 (F v )) SI(g 2 (F v )) ⊗ Mes(G 2 (F v )).
Si v est finie, c’est la proposition 1.8(ii) de [79]. Le cas complexe se ramène
au cas réel en remplaçant les groupes complexes par les groupes sur R obtenus par
restriction des scalaires. Le cas réel se déduit facilement des résultats de Shelstad
comme on l’a vu en [V] 5.1.
Dualement, on en déduit un isomorphisme
D
st
g´ eom (g 1 (F v )) ⊗ Mes(G 1 (F v ))
∗
D
st
g´ eom (g 2 (F v )) ⊗ Mes(G 2 (F v ))
∗ .
Pour i = 1, 2, notons D
st
nil (g i (F v )) le sous-espace des éléments de D
st
g´ eom (g i (F v )) à
support nilpotent. L’isomorphisme ci-dessus se restreint en un isomorphisme
(5)
D
st
nil (g 1 (F v )) ⊗ Mes(G 1 (F v ))
∗
D
st
nil (g 2 (F v )) ⊗ Mes(G 2 (F v ))
∗ .
Soit V un ensemble fini de places de F tel que