VI.5. La formule des traces stable
697
En [VII] 3.3, nous énoncerons un autre théorème qui implique celui-ci (cf.
[VII] 3.5), sauf éventuellement pour un nombre fini de classes exceptionnelles.
Nous prouverons ce deuxième théorème en [VII] 8 par une méthode de descente.
La fin de la démonstration du théorème ci-dessus, c’est-à-dire dans le cas où O est
exceptionnelle, sera l’un de nos derniers résultats, cf. [X] 8.5.
La définition ci-dessus s’adapte immédiatement aux K-espaces. Pour un
tel K-espace, une classe de conjugaison stable semi-simple O est réunion disjointe de telles classes O p pour p ∈ Π. On a simplement A
K ˜
G,E (V, O, ω) =
⊕ p∈Π A
˜
Gp,E (V, O p , ω).
VI.5.5 Le théorème d’Arthur
Supposons ici G = ˜
G, a = 1, ˜
K v = K v pour tout v ∈ V .
Théorème. Sous ces hypothèses, les théorèmes 5.2 et 5.4 sont vérifiés.
C’est le Global Theorem 1
de [18]. La preuve que nous donnerons des théorèmes 5.2 et 5.4 étant directement inspirée de celle d’Arthur, nous pourrions aussi
bien redémontrer l’énoncé ci-dessus. Mais cela n’aurait aucun intérêt. Nous préférons simplifier un peu la nôtre en utilisant le résultat d’Arthur. La propriété
5.2(1) des distributions SA
G (V, O) n’est pas clairement énoncée par Arthur, mais
est incluse dans sa démonstration. Elle résulte en tout cas de la démonstration
plus générale de cette propriété qui sera donnée ultérieurement.
VI.5.6 Un théorème complémentaire concernant
l’endoscopie non standard
Dans ce paragraphe, on considère un triplet endoscopique non standard
(G 1 , G 2 , j ∗ )
défini sur F . La définition est la même que dans le cas local ([79] 1.7), rappelonsla. Les termes G 1 et G 2 sont des groupes réductifs connexes définis sur F , quasidéployés et simplement connexes. On considère leurs paires de Borel épinglées,
dont on note les tores T 1 et T 2 . Ils sont munis d’actions de Γ F . Pour i = 1, 2, on
note Σ i l’ensemble de racines de T i dans G i . Pour α ∈ Σ i , on note ˇ
α la coracine
associée. On pose X i,∗,Q = X ∗ (T i ) ⊗ Z Q et X
∗
i,Q = X
∗ (T i ) ⊗ Z Q. Le terme j ∗ est
un isomorphisme j ∗ : X 1,∗,Q → X 2,∗,Q . On note j
∗ : X
∗
2,Q → X
∗
1,Q l’isomorphisme
dual. On suppose
(1) j ∗ est équivariant pour les actions de Γ F .
On suppose qu’il existe une bijection τ : Σ 2 → Σ 1 et une fonction b : Σ 2 →
Q >0 telles que
(2) j
∗ (α 2 ) = b(α 2 )τ (α 2 ) pour tout α 2 ∈ Σ 2 ;
(3) j ∗ (ˇ α 1 ) = b(α 2 )ˇ α 2 pour tout α 1 ∈ Σ 1 , où α 2 = τ
−1 (α 1 ).
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En [VII] 3.3, nous énoncerons un autre théorème qui implique celui-ci (cf.
[VII] 3.5), sauf éventuellement pour un nombre fini de classes exceptionnelles.
Nous prouverons ce deuxième théorème en [VII] 8 par une méthode de descente.
La fin de la démonstration du théorème ci-dessus, c’est-à-dire dans le cas où O est
exceptionnelle, sera l’un de nos derniers résultats, cf. [X] 8.5.
La définition ci-dessus s’adapte immédiatement aux K-espaces. Pour un
tel K-espace, une classe de conjugaison stable semi-simple O est réunion disjointe de telles classes O p pour p ∈ Π. On a simplement A
K ˜
G,E (V, O, ω) =
⊕ p∈Π A
˜
Gp,E (V, O p , ω).
VI.5.5 Le théorème d’Arthur
Supposons ici G = ˜
G, a = 1, ˜
K v = K v pour tout v ∈ V .
Théorème. Sous ces hypothèses, les théorèmes 5.2 et 5.4 sont vérifiés.
C’est le Global Theorem 1
de [18]. La preuve que nous donnerons des théorèmes 5.2 et 5.4 étant directement inspirée de celle d’Arthur, nous pourrions aussi
bien redémontrer l’énoncé ci-dessus. Mais cela n’aurait aucun intérêt. Nous préférons simplifier un peu la nôtre en utilisant le résultat d’Arthur. La propriété
5.2(1) des distributions SA
G (V, O) n’est pas clairement énoncée par Arthur, mais
est incluse dans sa démonstration. Elle résulte en tout cas de la démonstration
plus générale de cette propriété qui sera donnée ultérieurement.
VI.5.6 Un théorème complémentaire concernant
l’endoscopie non standard
Dans ce paragraphe, on considère un triplet endoscopique non standard
(G 1 , G 2 , j ∗ )
défini sur F . La définition est la même que dans le cas local ([79] 1.7), rappelonsla. Les termes G 1 et G 2 sont des groupes réductifs connexes définis sur F , quasidéployés et simplement connexes. On considère leurs paires de Borel épinglées,
dont on note les tores T 1 et T 2 . Ils sont munis d’actions de Γ F . Pour i = 1, 2, on
note Σ i l’ensemble de racines de T i dans G i . Pour α ∈ Σ i , on note ˇ
α la coracine
associée. On pose X i,∗,Q = X ∗ (T i ) ⊗ Z Q et X
∗
i,Q = X
∗ (T i ) ⊗ Z Q. Le terme j ∗ est
un isomorphisme j ∗ : X 1,∗,Q → X 2,∗,Q . On note j
∗ : X
∗
2,Q → X
∗
1,Q l’isomorphisme
dual. On suppose
(1) j ∗ est équivariant pour les actions de Γ F .
On suppose qu’il existe une bijection τ : Σ 2 → Σ 1 et une fonction b : Σ 2 →
Q >0 telles que
(2) j
∗ (α 2 ) = b(α 2 )τ (α 2 ) pour tout α 2 ∈ Σ 2 ;
(3) j ∗ (ˇ α 1 ) = b(α 2 )ˇ α 2 pour tout α 1 ∈ Σ 1 , où α 2 = τ
−1 (α 1 ).