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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
et, pour tout M
= (M
, M
, ζ) ∈ E( ˜
M , V ), avec M
= M , de l’égalité
(3)
I
˜
G
˜
M
(transfert(SA
M
(V, O ˜
M )), B, f ) = I
˜
G
˜
M
(transfert(SA
M
(V, O ˜
M )), f ).
La distribution A
˜
M (V, O) est combinaison linéaire d’intégrales orbitales vérifiant
l’hypothèse du lemme 1.14 et l’égalité (2) résulte de ce lemme. Les membres de
gauche et de droite de (3) sont respectivement égaux à
I
˜
G,E
˜
M
(M
, SA
M
(V, O ˜
M ), B, f ) et I
˜
G,E
˜
M
(M
, SA
M
(V, O ˜
M ), f )
d’après le corollaire 4.8. En utilisant la définition 4.5(1) de ce dernier terme et la
variante ce cette définition pour le premier, on voit que, pour prouver qu’ils sont
égaux, il suffit de fixer s ∈ ζZ( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF et de prouver l’égalité
S
G
(s)
M (SA
M
(V, O ˜
M ), B, f
G
(s) ) = S
G
(s)
M (SA
M
(V, O ˜
M ), f
G
(s) ).
C’est l’égalité de l’énoncé que l’on peut appliquer par récurrence puisque M
= M
donc G
(s) = G.
VI.5.4 Les distributions A
˜
G,E
(V, O, ω)
Revenons au cas général. Pour une classe de conjugaison stable semi-simple O
dans ˜
G(F V ), on pose
A
˜
G,E (V, O, ω) =
G ∈E( ˜
G,a,V )
i( ˜
G, ˜
G
) transfert(SA
G
(V, O ˜
G )).
Cette distribution A
˜
G,E (V, O, ω) est un élément de
D tr-orb ( ˜
G(F V ), ω) ⊗ Mes(G(F V ))
∗ .
Son support est contenu dans l’ensemble des éléments de ˜
G(F V ) dont la partie
semi-simple appartient à O.
Remarque. Le cas où (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure est un cas
particulier. Dans ce cas, nos hypothèses de récurrence ne s’appliquent pas à la
donnée endoscopique maximale G.
Il convient de remplacer le terme transfert(SA
G (V, O)) intervenant dans
la somme par SA
˜
G (V, O). On a alors A
˜
G,E (V, O) = A
˜
G (V, O) par définition de
SA
˜
G (V, O).
Théorème (à prouver). Soit O une classe de conjugaison stable semi-simple dans
˜
G(F V ). Alors, on a l’égalité A
˜
G,E (V, O, ω) = A
˜
G (V, O, ω).
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
et, pour tout M
= (M
, M
, ζ) ∈ E( ˜
M , V ), avec M
= M , de l’égalité
(3)
I
˜
G
˜
M
(transfert(SA
M
(V, O ˜
M )), B, f ) = I
˜
G
˜
M
(transfert(SA
M
(V, O ˜
M )), f ).
La distribution A
˜
M (V, O) est combinaison linéaire d’intégrales orbitales vérifiant
l’hypothèse du lemme 1.14 et l’égalité (2) résulte de ce lemme. Les membres de
gauche et de droite de (3) sont respectivement égaux à
I
˜
G,E
˜
M
(M
, SA
M
(V, O ˜
M ), B, f ) et I
˜
G,E
˜
M
(M
, SA
M
(V, O ˜
M ), f )
d’après le corollaire 4.8. En utilisant la définition 4.5(1) de ce dernier terme et la
variante ce cette définition pour le premier, on voit que, pour prouver qu’ils sont
égaux, il suffit de fixer s ∈ ζZ( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF et de prouver l’égalité
S
G
(s)
M (SA
M
(V, O ˜
M ), B, f
G
(s) ) = S
G
(s)
M (SA
M
(V, O ˜
M ), f
G
(s) ).
C’est l’égalité de l’énoncé que l’on peut appliquer par récurrence puisque M
= M
donc G
(s) = G.
VI.5.4 Les distributions A
˜
G,E
(V, O, ω)
Revenons au cas général. Pour une classe de conjugaison stable semi-simple O
dans ˜
G(F V ), on pose
A
˜
G,E (V, O, ω) =
G ∈E( ˜
G,a,V )
i( ˜
G, ˜
G
) transfert(SA
G
(V, O ˜
G )).
Cette distribution A
˜
G,E (V, O, ω) est un élément de
D tr-orb ( ˜
G(F V ), ω) ⊗ Mes(G(F V ))
∗ .
Son support est contenu dans l’ensemble des éléments de ˜
G(F V ) dont la partie
semi-simple appartient à O.
Remarque. Le cas où (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure est un cas
particulier. Dans ce cas, nos hypothèses de récurrence ne s’appliquent pas à la
donnée endoscopique maximale G.
Il convient de remplacer le terme transfert(SA
G (V, O)) intervenant dans
la somme par SA
˜
G (V, O). On a alors A
˜
G,E (V, O) = A
˜
G (V, O) par définition de
SA
˜
G (V, O).
Théorème (à prouver). Soit O une classe de conjugaison stable semi-simple dans
˜
G(F V ). Alors, on a l’égalité A
˜
G,E (V, O, ω) = A
˜
G (V, O, ω).