VI.5. La formule des traces stable
695
VI.5.3 Propriétés des distributions SA
˜
G
(V, O)
On suppose (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Soient V un ensemble
fini de places de F contenant V ram et O une classe de conjugaison stable dans
˜
G ss (F V ). On a
(1) si SA
˜
G (V, O) = 0 alors il existe un élément semi-simple γ ∈ ˜
G ss (F ) dont la
projection dans ˜
G(F V ) appartienne à O et tel que ˜
H ˜
GV (γ) = 0.
Preuve. D’après la définition de 5.1, la condition SA
˜
G (V, O) = 0 entraîne que
A
˜
G (V, O) = 0 ou qu’il existe G
∈ E( ˜
G, V ), avec G
= G, tel que SA
G
(V, O ˜
G ) =
0. Si A
˜
G (V, O) = 0, la définition de 2.7 entraîne qu’il existe γ ∈ ˜
G ss (F ) dont la
projection dans ˜
G(F V ) appartienne à O et tel que, pour v ∈ V , γ soit conjugué
à un élément de ˜
K v par un élément de G(F v ). Cette dernière condition et la
formule de produit entraîne que ˜
H ˜
GV (γ) = 0. Soit G
∈ E( ˜
G, V ), avec G
= G,
supposons SA
G
(V, O ˜
G ) = 0. En raisonnant par récurrence, on peut supposer
qu’il existe γ
∈ ˜
G
ss (F ) dont la projection dans ˜
G
(F V ) appartienne à O ˜
G et tel
que ˜
H ˜
G
V
(γ
) = 0. Puisque O ˜
G est l’ensemble des classes de conjugaison stable
correspondant à O, il existe γ ∈ O et un diagramme (γ
, B
, T
, B, T, γ). Puisque
G
est elliptique, les applications ˜
H ˜
GV et ˜
H ˜
G
V
sont compatibles, c’est-à-dire que
˜
H ˜
GV (γ) = ˜
H ˜
G
V
(γ
) = 0.
Soit ˜
M un espace de Levi propre de ˜
G et soit O une classe de conjugaison
stable dans ˜
M ss (F V ). Fixons un système de fonctions B comme en 1.10. Rappelons
que l’on impose que les valeurs des fonctions B η pour η ∈ ˜
G( ¯
F ) sont des unités
hors de V ram , a fortiori hors de V . On sait définir S
˜
G
˜
M
(SA
˜
M (V, O), B, f ) pour tout
f ∈ I( ˜
G(F V )) ⊗ Mes(G(F V )).
Lemme. L’égalité
S
˜
G
˜
M
(SA
˜
M (V, O), B, f ) = S
˜
G
˜
M
(SA
˜
M (V, O), f )
est vérifiée pour tout O.
Remarque. Si le support de O est formé d’éléments γ ∈ ˜
M (F V ) qui sont ˜
Géquisinguliers, c’est évident. En effet, dans ce cas, l’égalité S
˜
G
˜
M
(δ, B, f ) = S
˜
G
˜
M
(δ, f )
est vérifiée pour n’importe quel élément δ ∈ D
st
g´ eom (O) ⊗ Mes(M (F V ))
∗ .
Preuve. En utilisant la définition de 4.1 et en raisonnant par récurrence, il suffit
de prouver l’égalité
I
˜
G
˜
M
(SA
˜
M (V, O), B, f ) = I
˜
G
˜
M
(SA
˜
M (V, O), f ).
En utilisant la définition de 5.1, cette égalité résulte de l’égalité
(2)
I
˜
G
˜
M
(A
˜
M (V, O), B, f ) = I
˜
G
˜
M
(A
˜
M (V, O), f ),
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VI.5.3 Propriétés des distributions SA
˜
G
(V, O)
On suppose (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Soient V un ensemble
fini de places de F contenant V ram et O une classe de conjugaison stable dans
˜
G ss (F V ). On a
(1) si SA
˜
G (V, O) = 0 alors il existe un élément semi-simple γ ∈ ˜
G ss (F ) dont la
projection dans ˜
G(F V ) appartienne à O et tel que ˜
H ˜
GV (γ) = 0.
Preuve. D’après la définition de 5.1, la condition SA
˜
G (V, O) = 0 entraîne que
A
˜
G (V, O) = 0 ou qu’il existe G
∈ E( ˜
G, V ), avec G
= G, tel que SA
G
(V, O ˜
G ) =
0. Si A
˜
G (V, O) = 0, la définition de 2.7 entraîne qu’il existe γ ∈ ˜
G ss (F ) dont la
projection dans ˜
G(F V ) appartienne à O et tel que, pour v ∈ V , γ soit conjugué
à un élément de ˜
K v par un élément de G(F v ). Cette dernière condition et la
formule de produit entraîne que ˜
H ˜
GV (γ) = 0. Soit G
∈ E( ˜
G, V ), avec G
= G,
supposons SA
G
(V, O ˜
G ) = 0. En raisonnant par récurrence, on peut supposer
qu’il existe γ
∈ ˜
G
ss (F ) dont la projection dans ˜
G
(F V ) appartienne à O ˜
G et tel
que ˜
H ˜
G
V
(γ
) = 0. Puisque O ˜
G est l’ensemble des classes de conjugaison stable
correspondant à O, il existe γ ∈ O et un diagramme (γ
, B
, T
, B, T, γ). Puisque
G
est elliptique, les applications ˜
H ˜
GV et ˜
H ˜
G
V
sont compatibles, c’est-à-dire que
˜
H ˜
GV (γ) = ˜
H ˜
G
V
(γ
) = 0.
Soit ˜
M un espace de Levi propre de ˜
G et soit O une classe de conjugaison
stable dans ˜
M ss (F V ). Fixons un système de fonctions B comme en 1.10. Rappelons
que l’on impose que les valeurs des fonctions B η pour η ∈ ˜
G( ¯
F ) sont des unités
hors de V ram , a fortiori hors de V . On sait définir S
˜
G
˜
M
(SA
˜
M (V, O), B, f ) pour tout
f ∈ I( ˜
G(F V )) ⊗ Mes(G(F V )).
Lemme. L’égalité
S
˜
G
˜
M
(SA
˜
M (V, O), B, f ) = S
˜
G
˜
M
(SA
˜
M (V, O), f )
est vérifiée pour tout O.
Remarque. Si le support de O est formé d’éléments γ ∈ ˜
M (F V ) qui sont ˜
Géquisinguliers, c’est évident. En effet, dans ce cas, l’égalité S
˜
G
˜
M
(δ, B, f ) = S
˜
G
˜
M
(δ, f )
est vérifiée pour n’importe quel élément δ ∈ D
st
g´ eom (O) ⊗ Mes(M (F V ))
∗ .
Preuve. En utilisant la définition de 4.1 et en raisonnant par récurrence, il suffit
de prouver l’égalité
I
˜
G
˜
M
(SA
˜
M (V, O), B, f ) = I
˜
G
˜
M
(SA
˜
M (V, O), f ).
En utilisant la définition de 5.1, cette égalité résulte de l’égalité
(2)
I
˜
G
˜
M
(A
˜
M (V, O), B, f ) = I
˜
G
˜
M
(A
˜
M (V, O), f ),