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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
VI.5.2 Les distributions SA
˜
G
(V, O)
La situation est la même que dans le paragraphe précédent. On suppose de plus
(G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Pour toute classe de conjugaison
stable O dans ˜
G ss (F V ), on va définir une distribution
SA
˜
G (V, O) ∈ D tr-orb ( ˜
G(F V )) ⊗ Mes(G(F V ))
∗ .
Comme toujours, on a besoin de supposer par récurrence que cette distribution
vérifie certaines propriétés. Il y a les propriétés formelles qui permettent de «recoller» ces distributions dans la situation de 1.15. Elles sont faciles à vérifier par
récurrence et on les abandonne au lecteur. Il y a une autre propriété plus subtile. La distribution A
˜
G (V, O) dépend des ˜
K v pour v ∈ V , ou plus exactement
des classes de conjugaison par G(F v ) des ˜
K v . La définition ci-dessous fournit une
distribution SA
˜
G (V, O) qui en dépend aussi. De fait, elle en dépend. Mais on a
besoin de savoir que
(1) elle ne dépend que des classes de conjugaison par G AD (F v ) des ˜
K v , pour
v ∈ V .
On a surtout besoin de supposer par récurrence que cette distribution
SA
˜
G (V, O) est stable. Modulo ces propriétés, si G
= (G
, G
, s) est une donnée
endoscopique de (G, ˜
G, a) non ramifiée hors de V , avec dim(G
SC ) < dim(G SC ),
et si O
est une classe de conjugaison stable dans ˜
G
ss (F V ), on peut définir la
distribution SA
G
(V, O
) ∈ D
st
g´ eom (G
V ) ⊗ Mes(G
(F V ))
∗ .
Remarque. Quant à la dépendance des espaces hyperspéciaux, une extension formelle de la propriété (1) montre que cette distribution ne dépend que des classes
de conjugaison par G
AD (F v ) des ˜
K
v , pour v ∈ V . Mais ces classes sont bien
déterminées par les ˜
K v . Donc SA
G
(V, O
) ne dépend que des ˜
K v .
On peut alors poser la définition
SA
˜
G (V, O) = A
˜
G (V, O) −
G ∈E( ˜
G,V ),G =G
i( ˜
G, ˜
G
) transfert(SA
G
(V, O ˜
G )).
Remarquons que la définition entraîne par récurrence que SA
˜
G (V, O) est à support
dans l’ensemble des éléments de ˜
G(F V ) dont la partie semi-simple appartient à O.
Enonçons les propriétés de notre distribution sous la forme d’un théorème à
prouver.
Théorème (à prouver). On suppose (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure.
Soit O une classe de conjugaison stable semi-simple dans ˜
G(F V ). Alors SA
˜
G (V, O)
est stable et vérifie (1).
En [VII] 3.3, nous énoncerons un autre théorème qui implique celui-ci (cf.
[VII] 3.4). Nous prouverons ce deuxième théorème en [VII] 8 par une méthode de
descente.
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
VI.5.2 Les distributions SA
˜
G
(V, O)
La situation est la même que dans le paragraphe précédent. On suppose de plus
(G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Pour toute classe de conjugaison
stable O dans ˜
G ss (F V ), on va définir une distribution
SA
˜
G (V, O) ∈ D tr-orb ( ˜
G(F V )) ⊗ Mes(G(F V ))
∗ .
Comme toujours, on a besoin de supposer par récurrence que cette distribution
vérifie certaines propriétés. Il y a les propriétés formelles qui permettent de «recoller» ces distributions dans la situation de 1.15. Elles sont faciles à vérifier par
récurrence et on les abandonne au lecteur. Il y a une autre propriété plus subtile. La distribution A
˜
G (V, O) dépend des ˜
K v pour v ∈ V , ou plus exactement
des classes de conjugaison par G(F v ) des ˜
K v . La définition ci-dessous fournit une
distribution SA
˜
G (V, O) qui en dépend aussi. De fait, elle en dépend. Mais on a
besoin de savoir que
(1) elle ne dépend que des classes de conjugaison par G AD (F v ) des ˜
K v , pour
v ∈ V .
On a surtout besoin de supposer par récurrence que cette distribution
SA
˜
G (V, O) est stable. Modulo ces propriétés, si G
= (G
, G
, s) est une donnée
endoscopique de (G, ˜
G, a) non ramifiée hors de V , avec dim(G
SC ) < dim(G SC ),
et si O
est une classe de conjugaison stable dans ˜
G
ss (F V ), on peut définir la
distribution SA
G
(V, O
) ∈ D
st
g´ eom (G
V ) ⊗ Mes(G
(F V ))
∗ .
Remarque. Quant à la dépendance des espaces hyperspéciaux, une extension formelle de la propriété (1) montre que cette distribution ne dépend que des classes
de conjugaison par G
AD (F v ) des ˜
K
v , pour v ∈ V . Mais ces classes sont bien
déterminées par les ˜
K v . Donc SA
G
(V, O
) ne dépend que des ˜
K v .
On peut alors poser la définition
SA
˜
G (V, O) = A
˜
G (V, O) −
G ∈E( ˜
G,V ),G =G
i( ˜
G, ˜
G
) transfert(SA
G
(V, O ˜
G )).
Remarquons que la définition entraîne par récurrence que SA
˜
G (V, O) est à support
dans l’ensemble des éléments de ˜
G(F V ) dont la partie semi-simple appartient à O.
Enonçons les propriétés de notre distribution sous la forme d’un théorème à
prouver.
Théorème (à prouver). On suppose (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure.
Soit O une classe de conjugaison stable semi-simple dans ˜
G(F V ). Alors SA
˜
G (V, O)
est stable et vérifie (1).
En [VII] 3.3, nous énoncerons un autre théorème qui implique celui-ci (cf.
[VII] 3.4). Nous prouverons ce deuxième théorème en [VII] 8 par une méthode de
descente.