VI.5. La formule des traces stable
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galoisiennes. Les classes de conjugaison géométriques (c’est-à-dire par G( ¯
F )) semisimples dans ˜
G(F ) sont classifiées par un sous-ensemble de
((T
∗ /(1 − θ)(T
∗ ))/W
θ ) × Z(G) Z( ˜
G)
ΓF
.
La description exacte de ce sous-ensemble est compliquée.
On définit la conjugaison stable entre éléments semi-simples de ˜
G(F ) comme
dans le cas local. Deux éléments η, η
∈ ˜
G ss (F ) sont stablement conjugués si et
seulement s’il existe g ∈ G( ¯
F ) tel que g
−1 ηg = η
et gσ(g)
−1
∈ I η ( ¯
F ) pour tout
σ ∈ Γ F , où I η = Z(G)
θ G η . La correspondance ci-dessus se raffine en une correspondance entre classes de conjugaison stable dans ˜
G
ss (F ) et classes de conjugaison
stable dans ˜
G ss (F ).
De même, si on se place sur l’anneau F V , la correspondance ci-dessus se
raffine en une correspondance entre classes de conjugaison stable dans ˜
G
ss (F V )
et classes de conjugaison stable dans ˜
G ss (F V ). Si O est une classe de conjugaison
stable dans ˜
G ss (F V ), on note O ˜
G la réunion (finie, éventuellement vide) des classes
de conjugaison stable dans ˜
G
ss (F V ) qui correspondent à O.
On note Aut(G
) le groupe d’automorphismes de G
. En fixant une paire de
Borel épinglée convenable de ˆ
G, on a une suite exacte
1 → (Z( ˆ
G)/(Z( ˆ
G) ∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 ))
ΓF
→ Aut(G
)/ ˆ
G
→ Out(G
) → 1,
où Out(G
) est un sous-groupe du groupe des automorphismes extérieurs de G
.
On note selon l’usage π 0 (X) le groupe des composantes connnexes d’un groupe
algébrique complexe X. On pose
i( ˜
G, ˜
G
) = | Out(G
)|
−1
| det((1 − θ) |AG/A ˜
G
)|
−1
|π 0 (Z( ˆ
G)
ΓF )|| ker
1 (F, Z( ˆ
G))|
−1
|π 0 ((Z( ˆ
G)/(Z( ˆ
G) ∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 ))
ΓF )|
−1
|π 0 (Z( ˆ
G)
ΓF ,0
∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 )|
|π 0 (Z( ˆ
G
)
ΓF )|
−1
| ker
1 (F, Z( ˆ
G
))|.
Remarquons que, par exemple, le produit |π 0 (Z( ˆ
G)
ΓF )|| ker
1 (F, Z( ˆ
G))|
−1 peut
s’interpréter comme le nombre de Tamagawa de G. Notons-le τ (G). La formule
ci-dessus se récrit
i( ˜
G, ˜
G
) = |π 0 (Aut(G
))|
−1 det((1 − θ) |AG /A ˜
G
)|
−1
|π 0 (Z( ˆ
G)
ΓF ,0
∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 )|τ (G)τ (G
)
−1 .
On a défini la distribution A
˜
G (V, O, ω) ∈ D orb ( ˜
G(F V ), ω) ⊗ Mes(G(F V ))
∗
pour une classe de conjugaison par G(F V ) dans ˜
G ss (F V ). Si O est maintenant
une réunion finie de telles classes, on note A
˜
G (V, O, ω) la somme des distributions
associées à chacune de ces classes. En particulier, A
˜
G (V, O, ω) est défini pour une
classe de conjugaison stable O dans ˜
G ss (F V ).