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Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
place réelle, on a vu dans la section 5 de [V] qu’elle résultait (moins directement)
du théorème [V] 1.10.
VI.4.8 Le cas quasi-déployé et à torsion intérieure
Soient (G, ˜
G, a) un triplet quasi-déployé et à torsion intérieure, B un système de
fonctions comme en 1.10 et V un ensemble fini de places de F . Soient ˜
M un espace
de Levi de ˜
G et M
une donnée endoscopique elliptique et relevante de (M, ˜
M ).
Corollaire. Pour tout δ ∈ D tr-orb (M
) ⊗ Mes(M
(F V ))
∗ et tout f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F V )) ⊗
Mes(G(F V )), on a l’égalité
I
˜
G
˜
M
(transfert(δ), B, f ) = I
˜
G
˜
M
(M
, δ, B, f ).
L’argument est le même que dans le paragraphe précédent. Parce que
(G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure, le théorème [II] 1.16 est prouvé
(cf. [III] proposition 2.9) et un substitut du théorème [V] 1.10 aussi : c’est la proposition [V] 1.13 dont on a vu dans la section 4 de [V] qu’elle suffisait à notre
propos.
VI.5 La formule des traces stable
VI.5.1 Quelques définitions
Soit V un ensemble fini de places de F contenant V ram . On fixe un ensemble de
représentants E( ˜
G, a, V ) des classes d’équivalence de données endoscopiques de
(G, ˜
G, a) qui sont elliptiques, relevantes et non ramifiées hors de V .
Soit G
= (G
, G
, ˜
s) ∈ E( ˜
G, a, V ). On munit G
des objets auxiliaires de 3.1.
En particulier, pour v ∈ V ram (G
), on fixe un sous-espace hyperspécial ˜
K
G
v de
˜
G
(F v ) correspondant à ˜
K v . De l’homomorphisme naturel A ˜
G → A G se déduit un
homomorphisme A ˜
G → A G . C’est un isomorphisme par l’hypothèse d’ellipticité.
Il préserve les mesures par définition de celles-ci.
Considérons les paires de Borel épinglées de G et G
, dont on note les tores
T
∗ et T
∗ . Les classes de conjugaison semi-simples dans ˜
G( ¯
F ), resp. ˜
G
( ¯
F ), sont
classifiées par
((T
∗ /(1 − θ)(T
∗ ))/W
θ ) × Z(G) Z( ˜
G),
resp.
(T
∗ /W
G
) × Z(G ) Z( ˜
G
).
Il y a une application naturelle du second ensemble dans le premier, autrement dit
une application qui, à une classe de conjugaison semi-simple dans ˜
G
( ¯
F ), associe
une telle classe dans ˜
G( ¯
F ). Cette application est équivariante pour les actions
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
place réelle, on a vu dans la section 5 de [V] qu’elle résultait (moins directement)
du théorème [V] 1.10.
VI.4.8 Le cas quasi-déployé et à torsion intérieure
Soient (G, ˜
G, a) un triplet quasi-déployé et à torsion intérieure, B un système de
fonctions comme en 1.10 et V un ensemble fini de places de F . Soient ˜
M un espace
de Levi de ˜
G et M
une donnée endoscopique elliptique et relevante de (M, ˜
M ).
Corollaire. Pour tout δ ∈ D tr-orb (M
) ⊗ Mes(M
(F V ))
∗ et tout f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F V )) ⊗
Mes(G(F V )), on a l’égalité
I
˜
G
˜
M
(transfert(δ), B, f ) = I
˜
G
˜
M
(M
, δ, B, f ).
L’argument est le même que dans le paragraphe précédent. Parce que
(G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure, le théorème [II] 1.16 est prouvé
(cf. [III] proposition 2.9) et un substitut du théorème [V] 1.10 aussi : c’est la proposition [V] 1.13 dont on a vu dans la section 4 de [V] qu’elle suffisait à notre
propos.
VI.5 La formule des traces stable
VI.5.1 Quelques définitions
Soit V un ensemble fini de places de F contenant V ram . On fixe un ensemble de
représentants E( ˜
G, a, V ) des classes d’équivalence de données endoscopiques de
(G, ˜
G, a) qui sont elliptiques, relevantes et non ramifiées hors de V .
Soit G
= (G
, G
, ˜
s) ∈ E( ˜
G, a, V ). On munit G
des objets auxiliaires de 3.1.
En particulier, pour v ∈ V ram (G
), on fixe un sous-espace hyperspécial ˜
K
G
v de
˜
G
(F v ) correspondant à ˜
K v . De l’homomorphisme naturel A ˜
G → A G se déduit un
homomorphisme A ˜
G → A G . C’est un isomorphisme par l’hypothèse d’ellipticité.
Il préserve les mesures par définition de celles-ci.
Considérons les paires de Borel épinglées de G et G
, dont on note les tores
T
∗ et T
∗ . Les classes de conjugaison semi-simples dans ˜
G( ¯
F ), resp. ˜
G
( ¯
F ), sont
classifiées par
((T
∗ /(1 − θ)(T
∗ ))/W
θ ) × Z(G) Z( ˜
G),
resp.
(T
∗ /W
G
) × Z(G ) Z( ˜
G
).
Il y a une application naturelle du second ensemble dans le premier, autrement dit
une application qui, à une classe de conjugaison semi-simple dans ˜
G
( ¯
F ), associe
une telle classe dans ˜
G( ¯
F ). Cette application est équivariante pour les actions