VI.4. Intégrales orbitales pondérées et endoscopie
691
Bien que f soit concentrée sur la composante ˜
G p , on ne sait pas a priori que
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ q , f ) = 0 pour q = p. C’est l’unique raison, nous semble-t-il, pour laquelle
nous devrons travailler avec des K-espaces. Notons toutefois que, pour un seul
triplet (G, ˜
G, a), on peut parfaitement définir I
˜
G
˜
M
(M
, δ, f ) comme le membre de
droite de la formule (1). Si on inclut (G, ˜
G, a) comme composante connexe d’un
triplet (KG, K ˜
G, a), ce terme coïncide avec I
K ˜
G
K ˜
M
(M
, δ, f ), où f est identifié à une
fonction sur K ˜
G(F V ) nulle sur les autres composantes.
Dans le cas où (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure, si l’on
fixe un système de fonctions B comme en 1.10, on peut aussi définir le terme
I
˜
G
˜
M
(M
, δ, B, f ).
VI.4.6 Le résultat de comparaison des intégrales orbitales pondérées
ω-équivariantes
Les hypothèses sont les mêmes que dans le paragraphe précédent.
Proposition (à prouver). Pour tout γ ∈ D g´ eom, ˜
G -équi (K ˜
M (F V ), ω)⊗Mes(M (F V ))
∗
et tout f ∈ I(K ˜
G(F V ), ω) ⊗ Mes(G(F V )), on a l’égalité I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ, f ) = I
K ˜
G
K ˜
M
(γ, f ).
D’après la définition du membre de gauche et la formule de descente 1.11(1),
la proposition résulte de ses analogues locales, c’est-à-dire des théorèmes 1.16 de
[II] et 1.10 de [V]. On a déjà dit que la preuve de ceux-ci ne sera achevée qu’au
chapitre X ([X] 3.5 et [X] 7.7).
VI.4.7 Une autre forme du résultat de comparaison
On conserve la même situation.
Proposition. On admet la validité des théorèmes II.1.16 et V.1.10. Soit M
une donnée endoscopique de (KM, K ˜
M, a M ) elliptique et relevante. Soit δ ∈
D
st
tr-orb (M
V )⊗Mes(M
(F V ))
∗ . Alors, pour tout f ∈ I(K ˜
G(F V ), ω)⊗Mes(G(F V ))
∗ ,
on a l’égalité
I
K ˜
G
K ˜
M
(transfert(δ), f ) = I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, δ, f ).
Remarquons que transfert(δ) appartient à
D tr-orb (K ˜
M (F V ), ω) ⊗ Mes(M (F V ))
∗ .
Comme on l’a vu dans la section 5 de [V], la validité du théorème [V] 1.10 permet
de définir le membre de gauche de l’égalité de l’énoncé.
Preuve. Le membre de gauche de l’égalité à prouver vérifie la formule de descente 1.11(1). Celui de droite vérifie la formule parallèle de la proposition 4.5(i).
Cela nous ramène à prouver l’analogue locale de l’égalité. En une place nonarchimédienne, cette égalité résulte directement du théorème [II] 1.16. En une
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Bien que f soit concentrée sur la composante ˜
G p , on ne sait pas a priori que
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ q , f ) = 0 pour q = p. C’est l’unique raison, nous semble-t-il, pour laquelle
nous devrons travailler avec des K-espaces. Notons toutefois que, pour un seul
triplet (G, ˜
G, a), on peut parfaitement définir I
˜
G
˜
M
(M
, δ, f ) comme le membre de
droite de la formule (1). Si on inclut (G, ˜
G, a) comme composante connexe d’un
triplet (KG, K ˜
G, a), ce terme coïncide avec I
K ˜
G
K ˜
M
(M
, δ, f ), où f est identifié à une
fonction sur K ˜
G(F V ) nulle sur les autres composantes.
Dans le cas où (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure, si l’on
fixe un système de fonctions B comme en 1.10, on peut aussi définir le terme
I
˜
G
˜
M
(M
, δ, B, f ).
VI.4.6 Le résultat de comparaison des intégrales orbitales pondérées
ω-équivariantes
Les hypothèses sont les mêmes que dans le paragraphe précédent.
Proposition (à prouver). Pour tout γ ∈ D g´ eom, ˜
G -équi (K ˜
M (F V ), ω)⊗Mes(M (F V ))
∗
et tout f ∈ I(K ˜
G(F V ), ω) ⊗ Mes(G(F V )), on a l’égalité I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ, f ) = I
K ˜
G
K ˜
M
(γ, f ).
D’après la définition du membre de gauche et la formule de descente 1.11(1),
la proposition résulte de ses analogues locales, c’est-à-dire des théorèmes 1.16 de
[II] et 1.10 de [V]. On a déjà dit que la preuve de ceux-ci ne sera achevée qu’au
chapitre X ([X] 3.5 et [X] 7.7).
VI.4.7 Une autre forme du résultat de comparaison
On conserve la même situation.
Proposition. On admet la validité des théorèmes II.1.16 et V.1.10. Soit M
une donnée endoscopique de (KM, K ˜
M, a M ) elliptique et relevante. Soit δ ∈
D
st
tr-orb (M
V )⊗Mes(M
(F V ))
∗ . Alors, pour tout f ∈ I(K ˜
G(F V ), ω)⊗Mes(G(F V ))
∗ ,
on a l’égalité
I
K ˜
G
K ˜
M
(transfert(δ), f ) = I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, δ, f ).
Remarquons que transfert(δ) appartient à
D tr-orb (K ˜
M (F V ), ω) ⊗ Mes(M (F V ))
∗ .
Comme on l’a vu dans la section 5 de [V], la validité du théorème [V] 1.10 permet
de définir le membre de gauche de l’égalité de l’énoncé.
Preuve. Le membre de gauche de l’égalité à prouver vérifie la formule de descente 1.11(1). Celui de droite vérifie la formule parallèle de la proposition 4.5(i).
Cela nous ramène à prouver l’analogue locale de l’égalité. En une place nonarchimédienne, cette égalité résulte directement du théorème [II] 1.16. En une