690
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
Esquissons la preuve de (5). On a ici V = {v}.
La donnée M
v de (KM v , K ˜
M v , a Mv ) n’est pas forcément elliptique mais elle
est relevante. Il lui correspond un K-espace de Levi K ˜
R de K ˜
M . D’après nos
définitions, le membre de droite de (5) est égal à
K ˜
L v ∈L(K ˜
Mv)
d
˜
G
˜
Mv
( ˜
M , ˜
L
v )
K ˜
S v ∈L(K ˜
Rv )
d
˜
L
v
˜
Rv
( ˜
M v , ˜
S
v )I
K ˜
S
v ,E
K ˜
Rv
(M
v , δ v , f v,K ˜
S v ,ω ).
En échangeant les lettres L et S, on obtient
K ˜
L v ∈L(K ˜
Rv )
X
˜
G
˜
Rv
( ˜
M , ˜
L
v )I
K ˜
L
v ,E
K ˜
Rv
(M
v , δ v , f v,K ˜
L v ,ω )
où
X
˜
G
˜
Rv
( ˜
M , ˜
L
v ) =
K ˜
S v ∈L(K ˜
L v )
d
˜
G
˜
Mv
( ˜
M, ˜
S
v )d
˜
S
v
˜
Rv
( ˜
M v , ˜
L
v ).
Un calcul déjà fait plusieurs fois prouve que X
˜
G
˜
Rv
( ˜
M , ˜
L
v ) = d
˜
G
˜
Rv
( ˜
M , ˜
L
v ). La relation (5) équivaut donc à
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, δ, f ) =
K ˜
L v ∈L(K ˜
Rv)
d
˜
G
˜
Rv
( ˜
M , ˜
L
v )I
K ˜
L
v ,E
K ˜
Rv
(M
v , δ v , f v,K ˜
L v ,ω ).
La preuve de cette égalité est similaire à celle de (4) et d’ailleurs presque identique
à celle de la proposition [II] 1.14(i). On la laisse au lecteur.
Remarque. La preuve de (4) est réversible en ce sens que, si l’on suppose vérifiée
la relation (i) de l’énoncé ainsi que la formule (ii) de la proposition 4.2 pour tous
les termes sauf un du membre de droite de la définition (2), on en déduit cette
formule (ii) pour le terme restant. Dans cette direction, cela prouve par récurrence
cette formule (ii) de la proposition 4.2, puisque dans la situation de ce paragraphe,
l’analogue de la relation (i) est connue pour le terme I
˜
G
˜
M
(δ, f ).
Pourquoi avoir travaillé ici avec des K-espaces ? Parce que, dans le cas local et pour un unique triplet (G, ˜
G, a), on ne connaît pas (pas encore, plutôt)
l’analogue de la relation (ii) de l’énoncé. Expliquons cela. Supposons qu’un triplet (G, ˜
G, a) soit une composante connexe d’un K-triplet (KG, K ˜
G, a), disons
que c’est la composante indexée par p ∈ Π. On peut appliquer la relation (ii) de
l’énoncé à une fonction f ∈ I( ˜
G(F V ), ω) ⊗ Mes(G(F V )) identifiée à un élément
de I(K ˜
G(F V ), ω) ⊗ Mes(G(F V )) nul sur les autres composantes connexes. Mais
transfert(δ) vit sur toutes les composantes connexes, il est de la forme ⊕ q∈Π γ q , où
γ q ∈ D g´ eom ( ˜
M q (F V ), ω) ⊗ Mes(M (F V ))
∗ . Le membre de gauche de (ii) est égal à
q∈Π
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ q , f ).
Chapitre VI. La partie géométrique de la formule
Esquissons la preuve de (5). On a ici V = {v}.
La donnée M
v de (KM v , K ˜
M v , a Mv ) n’est pas forcément elliptique mais elle
est relevante. Il lui correspond un K-espace de Levi K ˜
R de K ˜
M . D’après nos
définitions, le membre de droite de (5) est égal à
K ˜
L v ∈L(K ˜
Mv)
d
˜
G
˜
Mv
( ˜
M , ˜
L
v )
K ˜
S v ∈L(K ˜
Rv )
d
˜
L
v
˜
Rv
( ˜
M v , ˜
S
v )I
K ˜
S
v ,E
K ˜
Rv
(M
v , δ v , f v,K ˜
S v ,ω ).
En échangeant les lettres L et S, on obtient
K ˜
L v ∈L(K ˜
Rv )
X
˜
G
˜
Rv
( ˜
M , ˜
L
v )I
K ˜
L
v ,E
K ˜
Rv
(M
v , δ v , f v,K ˜
L v ,ω )
où
X
˜
G
˜
Rv
( ˜
M , ˜
L
v ) =
K ˜
S v ∈L(K ˜
L v )
d
˜
G
˜
Mv
( ˜
M, ˜
S
v )d
˜
S
v
˜
Rv
( ˜
M v , ˜
L
v ).
Un calcul déjà fait plusieurs fois prouve que X
˜
G
˜
Rv
( ˜
M , ˜
L
v ) = d
˜
G
˜
Rv
( ˜
M , ˜
L
v ). La relation (5) équivaut donc à
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, δ, f ) =
K ˜
L v ∈L(K ˜
Rv)
d
˜
G
˜
Rv
( ˜
M , ˜
L
v )I
K ˜
L
v ,E
K ˜
Rv
(M
v , δ v , f v,K ˜
L v ,ω ).
La preuve de cette égalité est similaire à celle de (4) et d’ailleurs presque identique
à celle de la proposition [II] 1.14(i). On la laisse au lecteur.
Remarque. La preuve de (4) est réversible en ce sens que, si l’on suppose vérifiée
la relation (i) de l’énoncé ainsi que la formule (ii) de la proposition 4.2 pour tous
les termes sauf un du membre de droite de la définition (2), on en déduit cette
formule (ii) pour le terme restant. Dans cette direction, cela prouve par récurrence
cette formule (ii) de la proposition 4.2, puisque dans la situation de ce paragraphe,
l’analogue de la relation (i) est connue pour le terme I
˜
G
˜
M
(δ, f ).
Pourquoi avoir travaillé ici avec des K-espaces ? Parce que, dans le cas local et pour un unique triplet (G, ˜
G, a), on ne connaît pas (pas encore, plutôt)
l’analogue de la relation (ii) de l’énoncé. Expliquons cela. Supposons qu’un triplet (G, ˜
G, a) soit une composante connexe d’un K-triplet (KG, K ˜
G, a), disons
que c’est la composante indexée par p ∈ Π. On peut appliquer la relation (ii) de
l’énoncé à une fonction f ∈ I( ˜
G(F V ), ω) ⊗ Mes(G(F V )) identifiée à un élément
de I(K ˜
G(F V ), ω) ⊗ Mes(G(F V )) nul sur les autres composantes connexes. Mais
transfert(δ) vit sur toutes les composantes connexes, il est de la forme ⊕ q∈Π γ q , où
γ q ∈ D g´ eom ( ˜
M q (F V ), ω) ⊗ Mes(M (F V ))
∗ . Le membre de gauche de (ii) est égal à
q∈Π
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ q , f ).