VI.4. Intégrales orbitales pondérées et endoscopie
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(8) pour ˜
s ∈ S(K ˜
L 1 , K ˜
L 2 ), on a l’égalité
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))k
˜
G
(˜ s)
˜
M
( ˜
L
1 (˜ s), ˜
L
2 (˜ s))
−1
= k
˜
G
˜
M
( ˜
L 1 , ˜
L 2 )
−1 i ˜
M ( ˜
L 1 , ˜
L
1 (˜ s 1 ))i ˜
M ( ˜
L 2 , ˜
L
2 (˜ s 2 )).
On a
A ˜
G (˜ s) ⊂ A ˜
L
1 (˜ s) ∩ A ˜
L
1 (˜ s) = A ˜
L1 ∩ A ˜
L2 = A ˜
G .
Donc G
(˜ s) est elliptique et i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s)) est l’inverse du nombre d’éléments du
noyau de l’homomorphisme
r : Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ
→ Z( ˆ
M
)
ΓF /Z( ˆ
G
(˜ s))
ΓF .
Introduisons les homomorphismes
r 12 : Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
L 1 )
ΓF , ˆ
θ
⊕ Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
L 2 )
ΓF , ˆ
θ
→ Z( ˆ
M
)
ΓF /Z( ˆ
L
1 (˜ s 1 ))
ΓF
⊕ Z( ˆ
M
)
ΓF /Z( ˆ
L
2 (˜ s 2 ))
ΓF
et
q 12 : Z( ˆ
M
)
ΓF /Z( ˆ
G
(˜ s))
ΓF
→ Z( ˆ
M
)
ΓF /Z( ˆ
L
1 (˜ s 1 ))
ΓF
⊕ Z( ˆ
M
)
ΓF /Z( ˆ
L
2 (˜ s 2 ))
ΓF .
On a l’égalité r 12 ◦q = q 12 ◦r. Tous ces homomorphismes sont surjectifs et de noyaux
finis. Le nombre d’éléments du noyau du composé est donc égal au produit des
nombres d’éléments des noyaux de r 12 et de q, ou de q 12 et de r. Ces noyaux ont
pour nombre d’éléments i ˜
M ( ˜
L 1 , ˜
L
1 (˜ s 1 ))
−1 i ˜
M ( ˜
L 2 , ˜
L
2 (˜ s 2 ))
−1 pour r 12 , k
˜
G
˜
M
( ˜
L 1 , ˜
L 2 )
pour q, k
˜
G
(˜ s)
˜
M
( ˜
L
1 (˜ s), ˜
L
2 (˜ s)) pour q 12 et i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))
−1 pour r. L’assertion (8)
s’ensuit.
Il résulte de (8) que le terme que l’on somme dans (7) ne dépend que du couple
(˜ s 1 , ˜
s 2 ). On peut récrire (7) comme une somme sur ces couples (˜ s 1 , ˜
s 2 ), le terme que
l’on somme étant multiplié par le nombre des ˜
s ∈ S(K ˜
L 1 , K ˜
L 2 ) qui se projettent
sur le couple en question. Par définition de S(K ˜
L 1 , K ˜
L 2 ), ce nombre est nul si
l’un des ˜
L
i (˜ s i ) n’est pas elliptique. Sinon, c’est le nombre d’éléments du noyau
de q, c’est-à-dire k
˜
G
˜
M
( ˜
L 1 , ˜
L 2 ). Ce terme compense le même facteur intervenant
dans le membre de droite de (8). D’autre part, on se rappelle que la condition
i ˜
M ( ˜
L i , ˜
L
i (˜ s i )) = 0 équivaut à l’ellipticité de ˜
L
i (˜ s i ). On obtient l’égalité
X(K ˜
L 1 , K ˜
L 2 ) = d
˜
G
˜
M
( ˜
L 1 , ˜
L 2 )
i=1,2
˜
si∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
Li)
Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
L i , ˜
L
i (˜ s i ))
S
L
i (˜ si)
˜
M
(δ i , B
˜
G , (f i, ˜
Li,ω )
L
i (˜ si) ).
La somme en ˜
s i est égale par définition à I
K ˜
Li,E
K ˜
M
(M
, δ i , f i, ˜
Li,ω ). Donc
X(K ˜
L 1 , K ˜
L 2 ) = d
˜
G
˜
M
( ˜
L 1 , ˜
L 2 )I
K ˜
L1,E
K ˜
M
(M
, δ 1 , f 1, ˜
L1,ω )I
K ˜
L2,E
K ˜
M
(M
, δ 2 , f 2, ˜
L2,ω ).
Les membres de droite de (4) et (6) sont alors égaux, ce qui démontre (4).